Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 30/8/2022 (Đề thi có 01 trang, gồm 4 bài)

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số (?௡) xác định bởi ?ଵ= 4 và

?௡ାଵ= 9

ඥ?௡+ 1 + 1

, ∀?≥1.

a) Chứng minh rằng dãy (?௡) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mỗi số nguyên dương ?, chứng minh rằng

?ଵ+ ?ଶ+ ⋯+ ?௡

? ≥3.

Bài 2. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số thực không âm (?; ?; ?) thỏa mãn

ቐ

?≤?≤? ?+ ?+ ?= ??+ ??+ ??

ඥ??(?+ 1) = 2.

Bài 3. (4,0 điểm)

Cho ?, ? là các số nguyên tố và thỏa mãn: ?= 4?+ 1. Chứng minh rằng số

?௣= ?௣−1

?−1

chia hết cho ?.

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ??? có ??< ?? và nội tiếp đường tròn (?). Tiếp tuyến tại ? của (?) cắt đường thẳng ?? tại ?. Gọi ?, ? tương ứng là giao điểm của đường thẳng ?? với các đường thẳng ??, ??. Lấy các điểm ?, ? thuộc ?? sao cho ??∥??, ??∥ ??. Gọi ? là giao điểm của ?? và ??.

a) Chứng minh rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác (???) tiếp xúc với (?). b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? cắt ??, ?? tương ứng tại các điểm thứ

hai ?, ? (? khác ?, ? khác ?). Chứng minh rằng, ?? đi qua trực tâm của tam giác ???.

--------------------HẾT--------------------

Ghi chú:

 Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ hai: 31/8/2022 (Đề thi có 01 trang, gồm 03 bài)

Bài 5. (7,0 điểm)

Cho dãy đa thức ൫??(?)൯ xác định bởi: ?଴(?) = ?ଷ−4? và

?௡ାଵ(?) = ?௡(1 + ?). ?௡(1 −?) −1

với mọi số tự nhiên ?, mọi ?∈?.

a) Tính ?ଶ଴ଶଶ(2).

b) Chứng minh rằng, tồn tại một đa thức ?(?) với hệ số nguyên sao cho

?ଶ଴ଶଶ(?) = ?ଶ଴ଶଷ. ?(?) với mọi ?∈?.

Bài 6. (6,0 điểm)

Cho số nguyên ?≥2. Xét ? là một số nguyên dương sao cho tồn tại một tập hợp ? thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây:

◦ Mỗi phần tử của ? là một tập con ? phần tử của tập {1, 2, 3, . . . , ??}.

◦ Mỗi cặp phần tử của ? có không quá 1 phần tử chung.

◦ Mỗi phần tử của tập {1, 2, 3, . . . , ??} thuộc đúng hai phần tử của ?.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của ?.

Bài 7. (7,0 điểm)

Cho tam giác không cân ??? nội tiếp đường tròn (?). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? cắt ??, ?? tương ứng tại ?௕ , ?௖; đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? cắt ??, ?? tương ứng tại ?௔, ?௖; và đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? cắt ??, ?? tương ứng tại ?௔, ?௕ (các điểm ?௕, ?௖, ?௖, ?௔, ?௔, ?௕ không trùng với các đỉnh của tam giác ???). Các cặp đường thẳng (?௖?௔, ?௔?௕), (?௔?௕, ?௕?௖), (?௕?௖, ?௖?௔) lần lượt có các giao điểm là ?, ?, ?. Chứng minh rằng

a) Các điểm ?, ?௔, ?௔ thẳng hàng.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? tiếp xúc với (?).

--------------------HẾT--------------------

Ghi chú:

 Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2022-2023

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 30/8/2022 (Hướng dẫn chấm có 03 trang)

A. HƯỚNG DẪN CHẤM

- Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà vẫn logic, đúng thì giám khảo xem xét cho điểm tương ứng.

- Nếu học sinh có sử dụng các định lí, các hệ quả, các bổ đề… phổ biến trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi và nêu được tên thì giám khảo vẫn chấm đúng.

- Điểm số toàn bài, mỗi câu, mỗi ý không làm tròn, giám khảo có thể thống nhất đáp án, chia các ý điểm lớn thành bội của 0,25.

B. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Bài Ý Nội dung Điểm

1 Cho dãy số (????) … 5,0

a) Chứng minh rằng dãy (????) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 3,0

Bằng quy nạp, ta có 0 < ????< 9

2 với mọi n ≥ 1. 1,0

Với mỗi số nguyên dương n, ta có

|????+1 −3| = 3|????−3|

൫2 + ඥ????+ 1൯൫1 + ඥ????+ 1൯

≤1 2 |????−3|

Suy ra

|????−3| ≤ 1 2??−1 , ∀??≥1.

Từ đó suy ra lim ????= 3.

2,0

b)

Với …