Chuyên đề các phương pháp tìm giới hạn dãy số bồi dưỡng HSG Toán THPT

2 F GV: Nguyễn Tất Thu

DÃY SỐ DÃY SỐ Chương

I

§1 §1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) Xác định CTTQ

c Ví dụ1a c Ví dụ1

Cho dãy số(un) được xác định bởi   

 

u0 ∈(−1; 1)

un+1 =

r

1 + un

2 ∀n ∈N.

Đặt vn = 4n(1 −un). Chứng minh rằng dãy (bn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b

Lời giải. Do u0 ∈(−1; 1), nên tồn tại φ ∈(0; π) sao cho u0 = cos φ. Bằng quy nạp ta chứng

minh được

un = cos φ

2n

.

Suy ra

vn = 4n 1 −cos φ

2n

= 2 · 22n · sin2 φ

2n+1

.

Sửdụng lim x→0 sin x

x = 1 ta có lim vn = φ2

2 .

c Ví dụ2a c Ví dụ2

Cho dãy số(an) xác định bởi a1 = 1

2 và

an+1 = 1

2

"r

a2 n + 1

4n + an

#

, n = 1, 2, . . . .

Chứng minh rằng dãy (an) hội tụvà tìm giới hạn lim n→+∞an.

b

Lời giải. Bằng quy nạp, ta chứng minh được: an = 1

2n cot π 2n+1 với n ≥1. Từđó, ta có

lim an = 2

π.

3 F GV: Nguyễn Tất Thu

§1. Các phương pháp tìm giới hạn dãy số

2) Sửdụng nguyên lí Weierstrass

Nếu dãy (un) tăng và bịchặn trên thì dãy (un) có giới hạn hữu hạn.

Nếu dãy (un) giảm và bịchặn dưới thì dãy (un) có giới hạn hữu hạn.

c Ví dụ3a c Ví dụ3

Cho dãy số(an) xác định bởi :  



a1 = a2 = 1

an+1 = an + an−1 n(n + 1).

Chứng minh rằng dãy (un) hội tụ.

b

Lời giải. Ta có

an+1 = an + an−1 n(n + 1)

< an

1 + 1 n(n + 1)

< an−1

1 + 1 n(n −1)

1 + 1 (n −1)n

< · · ·

< a2

1 + 1

2.3

1 + 1

3.4

· · · 1 + 1 n(n + 1)

.

Áp dụng BĐT AM-GM

a2

1 + 1

2.3

1 + 1

3.4

· · · 1 + 1 n(n + 1)

≤





a2 + 1 + 1

2.3

+ 1 + 1

3.4

+ · · · + 1 + 1 n(n + 1)

n





n

=



  n + 1

2 −1

3 + 1

3 −1

4 + · · · + 1 n −1 −1

n n



 

n

< 1 + 1

n

n

Lại có 1 + 1

n

n = C0 n + 1

n · n

1! + 1

n2 · n(n −1)

2! + · · · + 1

nn · n(n −1)(n −2) . . . 2.1

n!

< 2 + 1

2! + 1

3! + · · · + 1

n!

< 1 + 1 + 1

2 + 1

22 + · · · + 1 2n−1

= 1 + 1 −1/2n

1 −1/2 =

3 − 1 2n−1 < 3

4 F GV: Nguyễn Tất Thu

Chương 1. Dãy số

c Ví dụ4a c Ví dụ4

Cho dãy số(xn) thỏa : ( x0 = 3

x3 n+1 −3xn+1 = √

xn + 2, ∀n ∈N.

Chứng minh rằng dãy sốtrên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó.

b

Lời giải. Ta chứng minh dãy (xn) giảm nghiêm ngặt bằng quy nạp. Dễdàng kiểm tra được x2 < x1. Gỉa sửxn+1 < xn, ∀n ∈N∗, ta có : p

xn+1 + 2 < √

xn + 2 ⇒x3 n+2 −3xn+2 < x3 n+1 −3xn+1 ⇒xn+2 < xn+1.

Chú ý tính đồng biến của hàm f(x) = x3 −3x. Theo nguyên lí quy nạp ta có (xn) giảm nghiêm ngặt. Ta cũng sẽchứng minh bằng quy nạp rằng xn ≥2, ∀n ∈N, hiển nhiên x0 = 3 ≥2, ta giảsử xn ≥2. Khi đó

x3 n+1 −3xn+1 ≥2 ⇔xn+1 ≥2, như vậy theo nguyên lí quy nạp ta có xn ≥2, ∀n ∈N. Ta có dãy (xn) bịchặn dưới và giảm nghiêm ngặt nên nó có giới hạn hữu hạn l, chuyển qua giới hạn :

l3 −3l = √

l + 2

Phương trình này cho nghiệm l ∈ 2; 2 cos 4π

7 ; 2 cos 4π

5

.

Mà l ≥2 ta được l = 2. Như vậy lim xn = 2.

c Ví dụ5a c Ví dụ5 VMO 2011

Cho dãy (xn) xác định bởi

x1 = 1; xn = 2n (n −1)2

n−1 X

i=1 xi, n ≥2.

Đặt yn = xn+1 −xn, n = 1, 2, 3.... Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn khi n →+∞.

b

Lời giải. Ta có

x1 + x2 + · · · + xn−1 = (n −1)2

2n xn

x1 + x2 + · · · + xn = n2

2(n + 1)xn+1

Suy ra

xn = n2

2(n + 1)xn+1 −(n −1)2

2n xn ⇒xn+1 = (n2 + 1) (n + 1)

n3 xn.

Do đó

yn = xn+1 −xn = n2 + n + 1

n3 xn.