Đề thi chọn HSG lớp 11 năm học 2015-2016 môn Toán - Dành cho học sinh THPT chuyên Quang An

SỞ GD&ĐT Trương quang an ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT chuyên Quang An Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (3,0 điểm).

1. Giải hệ phương trình: . ( 2) ( 2) ( , , ) ( 2)

y x xy z y yz x y z x z zx

         

A

2. Tính giới hạn sau: . 0 lim x

x x  

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho các số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của , , a b c 12 ac  8. bc 

biểu thức 1 1 1 8 2 D a b c ab bc ca abc             

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện và 2 n p 

chia hết cho . ( 1) 1 n p   1 p n 

Câu 4 (2,0 điểm).

Xét các điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi trên các đường thẳng chứa các

cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho và các đường thẳng BN, CM cắt nhau tại P. MN BC A

Gọi Q là giao điểm thứ hai (khác điểm P) của đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và CNP.

1. Chứng minh rằng Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

2. Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua các đường thẳng . ', ', ' A B C Q , , BC CA AB

Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên một đường thẳng cố ' ' ' A B C

định.

Câu 5 (1,0 điểm).

Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương là một bộ đẹp nếu ước chung lớn ( ; ; ) a b c n  , a b c  

nhất của bằng và . Ví dụ, bộ là đẹp, nhưng không , , a b c 1    n n n a b c a b c      (1; 2; 2) 5

phải là đẹp. Tìm tất cả các bộ đẹp với mọi (nếu có). 3 n  1 n 

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT trương quang an ———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN Quang An

NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 2,0 điểm

Hệ phương trình tương đương:

2

2

2

(1 ) 2

(1 ) 2

(1 ) 2

y x x

z y y

x z z

          

Nếu một trong ba số bằng thì hệ phương trình vô nghiệm. , , x y z 1 

hệ phương trình trở thành 

2

2

2

2 1

2 1

2 1

x y x y z y z x z

         

   

0,5

Đặt với . Do tan x   ; 2 2         

2 2tan tan 2 1 tan

    0,5

Ta có

tan 2

tan 4

tan8

y

z

x







     

2 3 tan tan8 0, , , 7 7 7                 0,5

Vậy, hệ phương trình có 7 nghiệm: , (0;0;0), 2 4 tan ;tan ;tan 7 7 7         

, , 2 4 4 2 tan ;tan ;tan , tan ;tan ;tan 7 7 7 7 7 7               

2 4 tan ; tan ; tan 7 7 7            

. 2 4 4 2 tan ; tan ; tan , tan ; tan ; tan 7 7 7 7 7 7                     

0,5

2 1,0 điểm

Xét hàm số với . Theo định lí Lagrange tồn tại sao  ln f x x    0;1 x   3 ;1 c x 

cho:      3 3 3 1 1 ' 1 1 f f x f c x x c     

0,25

  3 3 3 3

1 1 ln1 ln 1 x x x x     

.       3 3 3 6 3 3 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 3 3 x x x x x x x x x x         

0,5

ThuVienDeThi.com