Đề học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT huyện Phúc Thọ Hà Nội

Bài 1: (4,5 điểm)

Cho biểu thức P =

?2+ ?

?2 − 2? + 1 ∶ (

?+1

? –

1

1− ?+

2 − ?2

?2 − ?)

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P;

b) Tìm x để P =

−1

2 ;

c) Tìm các số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho x, y là các số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A= |x −12| + 2y2 - 16y + 2055

b) Giải phương trình:

1

2?2+5?+2 +

1

2?2+15?+22+

1

2?2+33?+121 =

21

11

Bài 3: (3 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên n để A = (?2 −8)2 + 36 là số nguyên tố.

b) Đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4, chia cho ?2 + 1 dư 2? + 3. Tìm đa thức dư

khi chia ?(?) ?ℎ? (?+ 1)(?2 + 1).

Bài 4: (7 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ??? ̂ = ??? ̂ .

b) Chứng minh BH. BE + CH . CF = ??2. c) Chứng minh điểm H cách đều 3 cạnh của tam giác DEF. d) Trên đoạn thẳng HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (1,5 điểm)

Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3.

Chứng minh rằng:

?

1+ ?2 +

?

1+ ?2 +

?

1+ ?2 ≥

3

2

--------------- HẾT----------------

Họ và tên thí sinh: .......................................Số BD:.......................................

UBND HUYỆN PHÚC THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề có 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

Năm học: 2022 – 2023

Môn: Toán lớp 8 Thời gian: 120 phút (Không kể giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2022 - 2023)

Bài Nội dung Biểu điểm

Bài 1:

(5 điểm)

a) Tìm được ĐKXĐ : x ≠0; x ≠1; x ≠−1

Rút gọn được P =

?2

? −1

2 điểm

b) Với x ≠0; x ≠1; x ≠−1

Ta có P =

−1

2 khi

?2

?−1 =

−1

2 => 2?2 = −?+ 1 Giải được x = -1 (loại); x =

1

2 ( nhận)

Vậy x =

1

2

1 điểm

c) Với x ≠0; x ≠1; x ≠−1 ta có:

P =

?2

?−1 =

?2−1+1

?−1 = x + 1 +

1

?−1

Với x là số nguyên thì x + 1 nhận giá trị nguyên, khi đó P nhận giá trị nguyên khi

1

?−1 nhận giá trị nguyên ⇔ x - 1 ? { -1; 1}

+) x -1 = -1 ⇔ x = 0 (loại) +) x - 1 = 1 ⇔ x =2 (thỏa mãn) Vậy x = 2 thì P nhận giá trị nguyên.

1,5 điểm

Bài 2:

(4 điểm)

a) A= |x −12| + 2y2 - 16y + 2055 Ta có: |x −12| ≥0, dấu “=” xảy ra khi x = 12. 2y2 - 16y + 2055 = 2(y2 - 8y + 16) + 2023 = 2(y −4)2+ 2023 ≥2023, dấu “=” xảy ra khi y = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2023 đạt được khi x = 12 và y = 4

2 điểm

Tìm ĐKXĐ:

2?2 + 5?+ 2 ≠0 ⇔(?+ 2)(2?+ 1) ≠0 ⇔?≠−2 ?à ?≠−1

2

2?2 + 15?+ 22 ≠0 ⇔(?+ 2)(2?+ 11) ≠0 ⇔?≠−2 ?à ?≠−11

2

2?2 + 33?+ 121 ≠0 ⇔(?+ 11)(2?+ 11) ≠0 ⇔?≠ −11 ?à ?≠−11

2

ĐKXĐ: ?≠ −2; ?≠−

1

2 ; ?≠−

11

2 ; ?≠ −11.

?ó:

3

2?2+5?+2 +

7

2?2+15?+22+

11

2?2+33?+121 =

21

11

⇔

3

(?+2)(2?+1) +

7

(?+2)(2?+11) +

11

(?+11)(2?+11) =

21

11

⇔

1

2 . [

3

(?+2)(2?+1) +

7

(?+2)(2?+11) +

11

(?+11)(2?+11) ]=

21

22

⇔

3

2(?+2)(2?+1) +

7

2(?+2)(2?+11) +

11

2(?+11)(2?+11) =

21

22

2 điểm

⇔

3

(2?+4)(2?+1) +

7

(2?+4)(2?+11) +

11

(2?+22)(2?+11) =

21

22

⇔

1

2?+1 -

1

2?+4 +

1

2?+4 −

1

2?+11 +

1

2?+11 −

1

2?+22 =

21

22

⇔

1

2?+1 −

1

2?+22 =

21

22 ⇔

21

(2?+1)(2?+22) =

21

22 ⇔

21

(2?+1)(2?+22) =

21

22

Suy ra: (2?+ 1)(2?+ 22) = 22 4?2 + 46?+ 22 = 22

 4?2 + 46?= 0  2x(2x +23) = 0 +) x = 0 (thỏa mãn) +) 2x+23 = 0  x = - 11,5 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = - 11,5.

Bài 3:

(3 điểm)

a) A = (?2 −8)2 + 36 = ?4− 16 ?2 + 64 +36 = ?4− 16 ?2 + 100 = ?4+ 20 ?2 + 100 −36?2 = (?2 + 10)2 - (6?)2 = (?2 + 10 −6?)(?2 + 10 + 6?) Có (?2 + 10 −6?) < (?2 + 10 + 6?) ( vì n là số tự nhiên) Để A là số nguyên tố thì ?2 + 10 −6?= 1 ⇔?2 −6?+ 9 = 0 ⇔(?−3)2 = 0 ⇔?−3 = 0 ⇔?= 3 Thay n = 3 có A = (32 −8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố.

Vậy n = 3 là giá trị cần tìm.

1,5 điểm

Do (?+ 1)(?2 + 1) có bậc 3 nên khi chia f(x) cho (?+ 1)(?2 + 1) thì đa thức dư có dạng ??2 + ??+ ?. Gọi thương của chúng là Q Ta có ?(?) = (?+ 1)(?2 + 1). Q + ??2 + ??+ ?

Vì đa thức f(x) chia cho (x+1) dư 4 mà x+1 = 0  x = -1 nên: ?(−1) = (−1 + 1) [(−1)2 + 1]. Q + ?(−1)2 + ?(−1) + ? = 4 ⇔ ?−?+ ? = 4 (1) Mặt khác ?(?) = (?+ 1)(?2 + 1). …