Đề thi chọn học sinh giỏi khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm học 2013 - 2014 đề thi môn Toán học lớp 11

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19/04/2014

Câu 1(4 điểm):

Giải hệ phương trình: 3 3

2x 2y 2x y 2xy 1 1

3y 1 8x 2y 1

x 0

              

Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : . 1 ( ) n n a 



2

1 1

5 10 1; 1 5

n n n

n

a a a a n a 

     

a) Chứng minh dãy hội tụ và tính . ( ) na lim na

b) Chứng minh . 1 2 ... 5 5 1 2

n a a a n n      

Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân giác trong của tam giác vuông ở . , , AD BE CF ABC A

Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần lượt ở AD EF K K BC , AB AC

. Chứng minh rằng: , M N

  2 2 . 2 MN AB AC   

Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số thoả mãn : f  A A     2 2 , , (1) f x y xf x yf y x y     A

Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100.

----HẾT----

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11

Câu 1(4 điểm):

Giải hệ phương trình: 3 3

2x 2y 2x y 2xy 1 1

3y 1 8x 2y 1

x 0

              

(Quảng Trị)

3 3

2 2 2 2 1 1 (1)

3 1 8 2 1 (2)

x y x y xy

y x y

       

    

(1)        2 1 2 1 2 1 1 0 x y x y       

ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0  2 1 0

1 0

x

y

   

(1)    2 1 1 2 1 2 1 0 x y x y       2 1 1 0 x y    

2 y x  

Thay vào (2): (3) 3 3 6 1 8 4 1 x x x        

3 3 6 1 6 1 2 2 x x x x      

Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R

(3) 3 6 1 2 x x   3 1 4 3 2 x x   

NX: x >1 không là nghiệm của phương trình

Xét 0 1: Đặt x = cos với Ta có: x    0 2     1 cos3 2 

2 9 3

2 9 3

k

k

  

  

    

   

(k ) Do Z  0 2    

9    

Vậy hệ có nghiệm cos ;2cos 9 9        

1đ

1đ

1đ

1đ

Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : . 1 ( ) n n a 



2

1 1

5 10 1; 1 5

n n n

n

a a a a n a 

     

ĐỀ SỐ 1

ThuVienDeThi.com

a) Chứng minh dãy hội tụ và tính . ( ) na lim na

b) Chứng minh . 1 2 ... 5 5 1 2

n a a a n n      

(Hải Phòng)

a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: . 3 1 2 na n   

Đặt A= và xét hàm . 5 5 2  2 5 10 10 ( ) ( 5) 5 5 x x f x x x x x        

Suy ra , như vậy nghịch biến trên  

2 10 3 '( ) 1 0 [1; ] 2 5 f x x x   

( ) f x

đoạn 1 [ ;1]. 2

1,0

Dẫn đến . 1 3 5 2 1

2 4 6 2

... ... ... ...

k

k

a a a a A a a a a A

               

2 1

2

lim

lim

k

k

a b A a c A

         1,0

Kết hợp công thức xác định dãy ta được

2

2

5 10

5 5 5

2 5 10 5

c c b c b c b b c b

                 

Vậy = . lim na 5 5 2 

1,0

b) Nhận xét: thì . 5 5 [1; ) 2 t   ( ) 5 5 t f t   

Dẫn đến 2 1 2 5 5 k k a a    1 k 

(1) 1 2 2 1 2

5 5 ... 2 2 k k a a a a k 

      

Như vậy bất đẳng thức đúng với . 2 n k 

Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1) thu được: 2 1 n k   2 1

5 5 2 k a 

 

. 1 2 2 1 2 2 1

5 5 ... (2 1) 2 k k k a a a a a k  

       

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1,0

ThuVienDeThi.com