Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thái Nguyên năm học 2011 - 2012 môn Toán

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN : TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1 (4 điểm).

Giải phương trình: . 2 2 2 2sin2 tan cot2

x x x    

Bài 2 (4 điểm).

Cho dãy số xác định bởi .  n u  

1

* 1

4

1 4 4 1 2 9 n n n

u

u u u n N 

        Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. n u

Bài 3 (4 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc A A BAE CAF 

, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo

dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN

và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.

Bài 4 (4 điểm)

Cho tập hợp . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao   A 1;2;3;...;18 

cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.

Bài 5 (4 điểm). Cho các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng: , , a b c 3 a b c   

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a         

---------- Hết ----------

Họ và tên :.......................................................... Số báo danh :.......................................

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012 Bài Lời giải

Điểm

Bài 1 Giải phương trình: . 2 2 2 2sin2 tan cot2

x x x    

Lời giải : Điều kiện : 

cos 0 sin2 0 1 tan cot2 0

x

x x x

        

Ta có :

2 2sin cos2 1 tan cot2 sin2 sin2 x x x x x x    

Do đó phương trình đã cho tương đương với :

  2 2 sin2 2 sin2 x x   

   sin2 1 . 2 sin2 2 0 x x    

sin2 1

2 sin2 2

x

x

     

( Thỏa điều kiện (1) ) sin2 1

1 sin2 2

x

x

      Giải các phương trình trên ta được :

  5 ; ; 2 12 12 x k x k x k k Z             

1đ

1 đ

1 đ

1 đ

Bài 2 Cho dãy số xác định bởi  n u

.  

1

* 1

4

1 4 4 1 2 9 n n n

u

u u u n N 

        Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. n u

Lời giải: Đặt

* 1 2 n n x u n N   

Ta có và hay 0 nx 

2 * 1 2 , n n x u n N  

2 1 2

n n

x u  

Thay vào giả thiết, ta được:

   

2 2 1

2 2 2 2 1 1

1 1 1 4 4 2 9 2

9 9 1 8 8 3 4

n n

n

n n n n n

x x x

x x x x x



 

          

       

1 đ

ThuVienDeThi.com

Suy ra: ( Do ) * 1 3 4 n n x x n N   

* 0 , nx n N   Hay

1 * 1 3 3 4.3 , n n n n n x x n N 

   Đặt . Ta có: * 3 , n n n y x n N  

* 1 4.3 ,

n n n y y n N    Từ đó   1 * 1 1 4 3 3 ..... 3 , n n ny y n N       

Hay

1 * 1 1 6 2.3 , n ny y n N      Theo cách đặt ta có: . 1 1 3 9 3 2.3

n n x y y      

Suy ra:

*

1 1 2 , 3 n n x n N    

Do đó

*

1 2 2 1 4 1 3 , 2 3 3 n n n u n N            

1 đ

1 đ

1 đ

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc

, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các A A BAE CAF 

đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện

tích bằng nhau.

Lời giải:

Đặt Tacó A A A , . BAE CAF EAF     

  1 1 . .sin . .sin 2 2 ABC S AB AF AC AF          . . 4 AF AB CD AC BD R  

(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN là

1 1 . .sin . .sin( ) 2 2 AMDN S AM AD AD AN      

0,5đ

1,5 đ

N M

D

O

A

B C E F

ThuVienDeThi.com