Đề thi chọn HSG lớp 11 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011-2012 môn Toán dành cho học sinh THPT không chuyên

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————— ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (1,5 điểm).

Giải phương trình: .

2

2 tan tan 2 sin tan 1 2 4 x x x x

           Câu 2 (3,0 điểm).

1. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1. 2. Chứng minh đẳng thức sau:

.         2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 2011 2012 1006 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 ... C C C C C C C       

Câu 3 (2,5 điểm).

1. Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 3 8 6 1 0 x x   nghiệm đó.

2. Cho dãy số được xác định bởi: , với mọi .  n u 1 1 2 sin sin1; n n

n u u u n     , 2 n n   A

Chứng minh rằng dãy số xác định như trên là một dãy số bị chặn.  n u

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , các cạnh bên 2 a bằng nhau và bằng ( ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình 3a 0 a  chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo . a 2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với

đường thẳng SC, biết rằng . 2 2 2 2 1 1 1 1 SH SA SB SC   

3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay , , AB CD BC AD AC BD   

đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ XA XB XC XD    nhất.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1,5 điểm

Điều kiện: (*) cos 0 2 x x k      

Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2cos (tan tan ) sin cos x x x x x   

0,25

2 2sin 2sin .cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos (sin cos )(2sin 1) 0 x x x x x x x x x x x x x             0,5

+ Với sin cos 0 tan 1 4 x x x x k         0,25

+ Với 1 5 2sin 1 0 sin 2 ; 2 2 6 6 x x x k x k             0,25

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:

5 ; 2 ; 2 ( ) 4 6 6 x k x k x k k             A 0,25

2 1 1,5 điểm Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 99999 10000 1 90000   Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: 1 abcd 0,5

Ta có chia hết cho 7 khi và chỉ khi 1 10. 1 3. 7. 1 abcd abcd abcd abcd     3. 1 abcd 

chia hết cho 7. Đặt là số nguyên khi và chỉ khi 1 3. 1 7 2 3 h abcd h abcd h     

3 1 h t  

0,5

Khi đó ta được: 7 2 1000 7 2 9999 abcd t t      

suy ra số cách chọn ra t sao cho số   998 9997 143, 144,..., 1428 7 7 t t    1 abcd

chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.

Vậy xác suất cần tìm là: 1286 0,015 90000 

0,5

2 1,5 điểm

Xét đẳng thức      

2012 2012 2012 2 1 . 1 1 x x x     0,5

+) Ta có suy ra hệ số của số hạng chứa là    

2012 2012 2 2 2012 0 1

k k

k x C x

    

2012 x 1006 2012 C 0,5

+) Ta có      

2012 2012 2012 2012

2012 2012 0 0 1 . 1

k k k k

k k x x C x C x

 

              

suy ra hệ số của số hạng chứa là 2012 x

2012 1 2011 2 2010 3 2009 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 ... o C C C C C C C C C C              2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 2011 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 ... C C C C C C       

Từ …