Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh cấp THPT năm học 2012-2013 môn Toán lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi:4/4/2013

Câu 1. a) Giải phương trình:  

2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 2 0 2sin 1

x x x x

x

  

  b)Tính giới hạn sau

3 2013 4

0

2 1. 2.3 1. 3.4 1... 2012.2013 1 lim

x

x x x x L x 

    

Câu 2. a) Cho khai triển:

 

11 2 3 10 2 3 110 0 1 2 3 110 1 ... ... x x x x a a x a x a x a x           

Chứng minh đẳng thức sau:

0 1 2 3 10 11 11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 ... 11 C a C a C a C a C a C a        b) Tính tổng:

   

1 2 3 1 2 3 ... 2.3 3.4 4.5 1 2

n n n n n n nC C C C S n n         

Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và . ' 5; ' 2 BB CC   2 cos '

5 CBB  

Tính diện tích tam giác ABC.

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn . Tính các góc của tam giác 2 A B C    

đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

2cos4 4cos2 cos2 cos2 P C C A B     Câu 4. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC vuông tại B. Biết   SC ABC 

và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với . ; 3 AB a AC a    13 sin 19 

Tính độ dài SC theo a.

Câu 5. Cho dãy số thỏa mãn:  na

   

1

2 2

1 1

4 3 1, 2 1 n n n n

a

n n n a n a n a a  

           

A

Tìm . lim na

----------------------------------------------------HẾT ----------------------------------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay, - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ………………

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11

Câu Đáp án Điểm

Điều kiện: (*). 1 6 sin , , 5 2

6

x k x k l x l

 

 

         

A

0,5

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

 

2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 0 2 x x x x    

  2 3sin 2 3sin .cos 2cos 1 cos 3 0 x x x x x          2 2 2 3sin cos 3sin 2 3sin .cos cos 0 x x x x x x      

0,5

  

3sin cos 0 3sin cos 3sin cos 2 0

3sin cos 2

x x x x x x

x x

        

  

0,5

TH1: 3sin cos 0 cot 3 , 6 x x x x k k          A 0,5

TH2: 3sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1 6 6 6 x x x x x                        2 2 2 , 6 2 3 x k x k k             A

0,5

1a)

3,0 điểm

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm

7 2 2 , 2 , 6 3 x k x k k         A

0,5

 

 

3 2013 4

2 0

3 2013 4 2013

0 0

2 1 1 2.3 1. 3.4 1... 2012.2013 lim

2.3 1 1 3.4 1... 2012.2013 2012.2013 1 lim ... lim

x

x x

x x x x L x

x x x x x x



 

   

     

1,0

Chứng minh công thức: (1).   *

0

1 1 lim 0;

n

x

ax a a n x n 

  A

1,0

1b)

3,0 điểm

Áp dụng (1) ta thu được

. 2011.2012 1 2 3 ... 2012 2011.1006 2023066 2 L      

1,0

Xét từ khai triển trên nhân hai vế với ta có: 1 x   

11 1 x 

(2)     

11 11 11 2 110 0 1 2 110 1 1 ... x x a a x a x a x       

1,0

Hệ số của trong vế trái bằng 

11 11 11 11 0 (2) 1

k k k

k VT C x



     11 x 1 11 11 C  0,5

2a)

2,5 điểm  

11

11 2 110 11 0 1 2 110 0 (2) 1 ... k k k

k VP C x a a x a x a x 



            

1,0

ThuVienDeThi.com