Đề thi chọn HSG lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 môn Toán dành cho học sinh THPT không chuyên

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu I (2 điểm) Giải phương trình:

3 1 3 2 2 2cos2 0 cos2 1

cotx tan x x x cotx       Câu II (2,5 điểm) 1. Cho khai triển:

 

2011 2 3 2010 2 3 4042110 0 1 2 3 4042110 1 ... ... x x x x a a x a x a x a x           

a. Tính tổng 0 2 4 4042110 ... a a a a     b. Chứng minh đẳng thức sau:

0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 ... 2011 C a C a C a C a C a C a        2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. Câu III (2,5 điểm) 1. Cho dãy số được xác định như sau  n u

,   2 1 1 1 2011; n n n u u n u u      với mọi . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. *, 2 n n   A  n u 2. Tính giới hạn:

3

2 1

2 1 3 2 2 1 x

x x x A lim x 

     Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . a 1. Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua ' AC   ' A BD ' AC trọng tâm của tam giác . ' A BD 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo . a

-------------------Hết-------------------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH VĨNH PHÚC

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)

Đáp án gồm 3 trang

Câu Nội dung Điểm

ĐK

cos2 0 cos2 0 cos2 0 sin 0 sin 0 sin 0 cot 1 cos sin 0

x x x x x x x x x

                       

0,5

Khi đó phương trình đã cho trở thành

  

3sin 2 3 sin cos 2 2cos2 0 cos2 sin cos 3sin 2 3 cos sin 2 2cos2 0 cos sin cos sin sin cos

x x x x x x x x x x x x x x x x x

              

0.5

     

2 2

2

2

3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0

3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0

1 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2 2

x x x x

x x x

x x x x

   

     

     

0,5

+) không thỏa mãn ĐK sin 2 1 cos2 0 x x   0,25

I 2 điểm

+) (thỏa mãn ĐK) 1 sin 2 2 x    2 2 3 6 2 2 2 3 3

x k x k

k x k x k

   

    

                         

A 0,25

1.a (1,5 điểm) Từ khai triển trên lần lượt cho ta được 1; 1 x x   0,5

2011 0 1 2 4042110

0 1 2 4042110

... 2011

... 1

a a a a

a a a a

             0,5

Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được

2011

0 2 4 4042110

2011 1 ... 2 A a a a a        0,5

1.b (0,5 điểm) Xét từ khai triển trên ta có: 1 x 

    

2011 2011 2011 2 4042110 0 1 2 4042110 1 1 ... x x a a x a x a x       

Hệ số của trong vế trái bằng 2011 x 1 2011 2011 C   0,25

II 2,5điểm

Hệ số của trong vế phải bằng 2011 x

0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 ... C a C a C a C a C a C a       Từ đó ta có đẳng thức 0,25

ThuVienDeThi.com