Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 THPT năm học 2013 - 2014 môn Toán

TRƯỜNG THPT B KIM BẢNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Năm học 2013-2014

Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên: Trần Việt Hà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị : Trường THPT B Kim Bảng

Câu 1: (4 điểm) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên   0;1004

2 8sin .cos 3sin cos 0 3 7 sin( ) 3 os( ) 2 2

x x x x

x c x        

Câu 2: (5 điểm) a) Tính tổng

0 1 2 2011 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 ... ... 1.2 2.3 3.4 ( 1).( 2) 2012.2013 2013.2014

k C C C C C C S k k           ( ,0 2012) k N k   

b) Xếp 10 người gồm 5 nam và 5 nữ vào hai hàng ghế kê đối diện nhau, mỗi bên 5 chiếc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để nam và nữ luôn ngồi đối diện nhau ?

Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số thực xác định bởi ( ) na

và với mọi 1 5 a  1 1 1 1 2 2.3 n n n n n n a a        2 n 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? ( ) na

Câu 4: (3 điểm) Cho dãy ngũ giác lồi , xác định như sau: n n n n n A B C D E

a) Ngũ giác có diện tích 1 1 1 1 1 A B C D E 1 2014 S  b) Với mỗi ngũ giác được tạo thành bằng cách: * n N  1 1 1 1 1 n n n n n A B C D E      Từ trung điểm mỗi cạnh của ngũ giác ta nối với trung điểm 2 cạnh không kề n n n n n A B C D E nó. Ngũ giác có các đỉnh chính là trung điểm của 5 cạnh thẳng nhận 1 1 1 1 1 n n n n n A B C D E      được theo cách nối trên. Gọi là diện tích của ngũ giác . Tìm ? iS i i i i i A BC D E 2013 S Câu 5: (5 điểm)

Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ có các đáy là các tam giác vuông cân, OA=OB=a, . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của OA, AA’ AA'=a 2

a) Tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp( ) đi qua M và vuông góc với A’B 

b) Gọi là góc tạo bởi hai mp (OAB) và (MPB’). Tính  os c 

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu Nội dung Điểm

Câu1 (4đ)

Điều kiện xác định:

3 7 sin( ) 3 os( ) 0 3sin os 0 2 2 1 tan tan tan , 6 6 3

x c x x c x

x x x k k Z

 

  

      

       

4sin 2 sin 3sin os 0

2( os os3 ) 3sin os 0

1 3 os3 os sin os3 os( ) 2 2 3

3 2 3 6 ( ) 3 ( ) 2 3 12 2

PT x x x c x

c x c x x c x

c x c x x c x c x

x x k x k

k Z x x k x k



   

   

   

    

     

                       

Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là

( ) 12 2 x k k Z     

Vì

  0;1004 0 1004 12 2 1 1 1 2008 2008 6 6

x k

k k

k Z k Z

        

               Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên là   0;1004

với gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng 12 2 kx k     1 2008 k k Z     

có công sai nên tổng các nghiệm là 1

5 12 2 12 x       2 d  

0.5

1.0

1.0

0.5

ThuVienDeThi.com

1

2008 5 3025052 2 ( 1) 2 (2008 1) 2 2 2 12 2 3 n S x n                       

1.0

Câu 2 (5đ) a) (3 điểm) Ta có

 

2012

2 2014

1 2012! . ( 1).( 2) ( 1).( 2) !(2012 )!

1 2014! . 2013.2014 ( 2)! 2014 ( 2) ! 2013.2014

k

k

C k k k k k k

C k k



      

    

Do đó

2 3 2014 2014 2014 2014 1 . ... 2013.2014 S C C C        

Mặt khác ta có

0 1 2 3 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014

2 3 2014 2014 2014 2014 2014

... 2

... 2 2015

C C C C C

C C C

     

     

Vậy

2014 2 2015 2013.2014 S  

b) (2 điểm) Không mất tính tổng quát và để dễ hình dung ta đánh số các ghế như sau:

1 2 3 4 5

10 9 8 7 6

Có 10 cách chọn 1 trong 10 người để xếp vào ghế số 1. Sau khi đã chọn được

1 người để xếp vào ghế số 1 thì có 5 cách chọn người khác giới để xếp vào ghế

số 10.

Tương tự có 8 cách chọn 1 trong 8 người còn lại để xếp vào ghế số 2. Khi đó

1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

ThuVienDeThi.com