Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 11

TaiLieu.VN Page 1

ĐỀ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN 11

Thời gian: 150 phút

Câu I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình lượng giác 2 2 sin 3 cos2 sin 0. x x x  

2) Giải hệ phương trình

  

2 2

2 2 8

4 4 4.

x y

x y y x

    

    

Câu II (2,0 điểm)

1) Cho a, b, c là ba hằng số và ( ) nu là dãy số được xác định bởi công thức:

1 2 3 ( *). nu a n b n c n n      

Chứng minh rằng lim 0 n n u   khi và chỉ khi 0. a b c   

2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26. Tìm các số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín.

Câu III (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 3 2 1  n

chia hết cho 1 3  n

nhưng không chia hết cho 2 3 .  n

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho hình hộp . ' ' ' '. ABCD A B C D Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( '). ACD

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

ThuVienDeThi.com

TaiLieu.VN Page 2

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại

các điểm B', D' khác S. Chứng minh rằng: 4 ' ' 3 3 2 SB SD SB SD    .

Câu V (1,0 điểm)

Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   sin sin . y x  

--- HẾT ---

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................................

Chữ ký của giám thị 1: ................................ Chữ ký của giám thị 2:......................................

ThuVienDeThi.com

TaiLieu.VN Page 3

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu I

1) Giải phương trình lượng giác 2 2 sin 3 cos2 sin 0. x x x  

2) Giải hệ phương trình   

2 2

2 2 8

4 4 4.

x y

x y y x

    

    

2,0 đ

I.1

(1,0đ)

Có: 3 2 sin3 3sin 4sin (3 4sin )sin (1 2cos2 )sin , x x x x x x x       0,25

nên PT 2 2 [(1 2cos2 ) cos2 1]sin 0 x x x     0,25

3 2 2

2 2 (4cos 2 4cos 2 cos2 1)sin 0

(1 cos2 )(1 4cos 2 )sin 0

x x x x

x x x

    

   

0,25

sin 0 2 cos2 1 x x k x        

(với k nguyên)

0,25

I.2

(1,0đ)

Điều kiện: ; [ 2;2] x y  . Đặt 2cos2

2cos2     

x u y v với , [0; ] 2 u v 

HPT  (1 cos2 )(1 cos2 ) 2 cos2 sin 2 cos2 sin 2 1 u v u v v u        

0,25



2 2 sin cos 1/ 2 sin 2( ) 1 u v u v

     



sin cos 1/ 2

4

u v

u v

    

 

sin( ) sin( ) 2

4

u v u v

u v

       



0,25



sin( ) 1/ 2

4

u v

u v

     

  4

4

u v

u v

     



  4 0

u

v

   



(thỏa)

0,25

Kết luận: nghiệm hệ phương trình là 2cos 0 2 2cos0 2

x

y

       

0,25

Câu 1) Cho a, b, c là ba hằng số và   n u là dãy số được xác định bởi công 2,0 đ

ThuVienDeThi.com