Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 - 2014 môn thi Toán lớp 11 chuyên

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN

Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình    2 2 3 4sin 3 4sin 3 1 2 os10 . x x c x   

2) Giải hệ phương trình

2

2 2 2

4 1 4 0.

    

    

y x

x xy y

Câu 2 (6,0 điểm)

1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn

bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có 1 khách lên và

một toa không có khách nào lên tầu.

2) Tìm hệ số của số hạng chứa 13 x trong khai triển

3 2 15 1 ( ) (2 1) 4 f x x x x          

thành đa thức.

3) Cho các số thực dương   ,a b a b  và hai dãy số  ; n n u v xác định như sau:

1 1

* 1 1

;

; . , . 2

n n n n n n

u a v b

u v u v u v n  

       

Chứng minh rằng hai dãy  ; n n u v có giới hạn hữu hạn và lim lim n n u v  .

Câu 3 (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 4 11 0    a b c . Chứng minh rằng phương trình

2 0    ax bx c luôn có nghiệm thuộc khoảng   0;1 .

Câu 4 (6,0 điểm)

1) Cho đường thẳng  có phương trình 3 0   x y và đường tròn     2 2 : 2 1 1     C x y . Tìm tọa

độ điểm M nằm trên đường thẳng  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ) và đường thẳng AB đi qua điểm   3;-2 E .

2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có 0 3 = ; '= ; 60 . 2   a AB AD a AA BAD Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'.

a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A').

b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).

Câu 5 (2,0 điểm). Cho ,  x y thỏa mãn 4 8 3     x y x y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của   S x y .

------ HẾT ------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:..................................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

ThuVienDeThi.com

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NGÀY THI 29/3/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (4đ)

1.1. (2.0 điểm)

Xét sin 0 , . x x k k Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn.

Xét sin 0 , (*). x x k k

Nhân hai vế của phương trình đã cho với sinx

0.5

Phương trình tương đương với

sin9 sin 2cos10 sin sin11 sin 0 x x x x x x 0.5

5 cos6 sin5 0

12 6

x m x x

x n

, , m n 0.5

Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là 5

12 6

x m

x n

,

5 ; , , . m k m n k

0.5

1.2 (2.0 điểm)

2

2 2 2 (1)

4 1 4 0 (2).

    

    

y x

x xy y

2 1 2 2 3 0. y x x y Kết hợp (2) được 0 x ; và x = 0 không thỏa mãn.

2

2 2 2 2 4 4 y y x x

0.5

Xét 2 4 f t t t trên 0; , chứng minh được ( ) f t đồng biến trên

0; 2 2 4 . y x x y

0.5

Thay vào (1) 2 2 4 2 2y y . Xét 2 2 4 2 2t g t t nghịch biến trên ;0 0.5

2 0 g nên 2 y và từ đó x = 1.

KL ; 1; 2 . x y

0.5

Câu 2 (6đ)

2.1 (2.0 điểm)

Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là 5 | | 4 0.5

Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là 3 5 10 C . 0.5

ThuVienDeThi.com