Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn thi Toán

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu)

C©u 1:

1)Giải phương trình: (1)

3 3 sin .sin3 cos .cos3 1 8 tan( ) tan( ) 6 3

x x x x

x x      

2)Giải bất phương trình sau:

   

2 2

2 6 3 2 5 3

0 3 2 10

x x x x x

x x

     

   

C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10},..., trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999.

Câu 3 Cho dãy số (un) xác định như sau:

1

2 n 1 n n

u 2012

(n N*) u 2012u u 

      

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim( ... ). u u u u     

Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao

cho I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song 2 3 AP AB;AQ AD. 3 4  

song với AC. Hãy xác định tỉ số . IB' QB'

Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

2 2 2 a b c S (ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1)         

b) Cho a, b, c và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0  2 2 2 3 a b c   

3 3 3

2 2 2 1 1 1

a b c P

b c a      

-------------------------------Hết-------------------------------

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN THI HSG

Câu Nội dung Điểm Câu 1 §iÒu kiÖn

 

sin .cos 0 6 6 sin 2 0 * 3 6 2 sin .cos 0 3 3

x x

x x m m x x

 

    

                                                

A

Ta cã . tan tan cot .tan 1 6 3 3 3 x x x x                                   Suy ra (1)

    3 3 2 2 1 1 sin sin3 cos cos3 sin sin sin3 cos cos cos3 8 8 x x x x x x x x x x      

    2 2 2 2 2 1 sin cos2 cos4 cos cos2 cos4 sin cos cos2 cos 4 x x x x x x x x x x               

  3 1 1 1 1 cos2 cos2 cos4 cos2 1 cos4 cos 2 cos2 4 4 8 2 x x x x x x x x           

Kết hợp điều kiện (*) ta được .   6 x k k     A

Điều kiện: 3 x  Khi đó ta có:

 

     

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 6 9 9 9

2 18 2 20 2 10

3 2 10 3 2 10 0

x x x x x

x x x

x x x x

       

     

        

Bất phương trình đã cho tương đương với

           

      



2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

6 3 2 5 3 0

6 3 2 5 3

6 3 2 5 3 6 6 2

6 6 2 2 34 108 0

17 181 34 108

17 181

: 3;17 181 17 181;

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x

KL S

      

      

           

         

     

  

          

ThuVienDeThi.com

Câu 2 Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là

. Khi đó Sn là tổng của n số hạng trong một cấp   1 1 2 3 4 ... 2 n n n       

số cộng có số hạng đầu , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong  

1

1 u 2 n n  

tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có

.     2 1 1 1 2 1 1 2 2 n S n u n d n n         

Vậy   2 999

1.999 999 1 498501999 2 S   

Câu 3 - CM được dãy tăng : 2 n 1 n n u u 2012u 0 n    

- giả sử có giới hạn là a thì : VL 2 a 2012a a a 0 2012      nên limun = 

- ta có :

2 n n n 1 n

n 1 n 1 n n 1 n n n 1

u u (u u ) 1 1 1 ( ) u u u 2012u u 2012 u u



   

    

Vậy : . 2 n 1 n 1

1 1 1 1 S .lim( ) 2012 u u 2012     

Câu 4 12 IB' QB' 29

  

đáp số 12/29. Câu 5a 2

2 2 a 1 4 4 1 2 1 2 1 1 (ab 2)(2ab 1) 9 (b )(2b ) (b 2b ) (b ) a a a a a

          

đáp số : 1/3 Câu 5b

Ta có: P + 3 = 2

2

3 2

2

3 2

2

3

1 1 1

a a

c c c

b b b

a        

2 4 1

1 2 1 2 2 4

6 2

2

2

2

3 b

b

a

b

a P        

2 4 1

1 2 1 2

2

2

2

2

3 c

c

b

c

b      

2 4 1

1 2 1 2

2

2

2

2

3 a

a

c

a

c       …