Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Cẩm Xuyên năm học 2016-2017 môn Toán lớp 11

1

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN

TỔ: TOÁN - TIN

——————

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016-2017

MÔN TOÁN LỚP 11

(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)

——————

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) . 4 4 2sin 2 1 x cos x  

b) . 2 sin2 2cos 4sin 3 0 cos x x x x     

c) . 1 1 1 1 4 3 72 x x x C A     

Câu 2. a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

b) Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3?

Câu 3. a) Tìm số hạng không chứa trong khai triển: . x

20 2

3 1 2x

x       

b) Tính tổng: . 0 1 1 2 2 3 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 ... S C C C C C C C C     

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SA, N là trung điểm SD và G là trọng tâm tam giác SBC.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNG).

b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (MNG) với SC, SB. Chứng minh: MQ và NP cắt nhau, AQ và DP cắt nhau. Gọi I là giao điểm của MQ và NP; J là giao điểm của AQ và DP. Chứng minh rằng I, J, S thẳng hàng.

c) Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, E là giao điểm của SO và mặt phẳng

(MNG). Tính tỉ số . SE SO

Câu 5. Cho ba số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất , , x y z 2016 2016 x y z xyz   

của biểu thức: . 2

2 2 2 2 1 1 2016

1 1 2016 P

x y z      

..…….……………………………………..HẾT…………………..………….…………..

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: …………………………...…………………………Số báo danh: …………

ThuVienDeThi.com

2

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

(Đáp án gồm 06 trang)

Câu Bài giải Điểm

 

2 2 2 2 2 2 sin cos 2sin .cos 1 PT x x x x          

1.0đ

2 2 2 sin 2 1 sin 2 1 cos2 0 x x x      1.0đ

1a

(2.5đ)

( ) 4 2 π kπ x k    A 0.5đ

2 2 sin2 2cos 4sin 3 0

2 2sin cos 2cos 4sin 4 0

cos x x x x

cos x x x x x

    

     

0.5đ

        

2 1 sin cos 1 sin 2 1 sin 0

1 sin sin cos 1 0

x x x x

x x x

      

     0.5đ

sin 1 sin cos 1 x x x       0.5đ

1b

(2.0đ)

2 2 2 2 2sin 1 2 4

π x k π π x k π π x x k π

                      

0.5đ

, ĐK: 1 1 1 1 4 3 72 x x x C A      , 2 x x   A    

   

1 ! 1 ! 4 3 72 1 !2! 2 ! x x PT x x       

0.5đ

    2 1 3 1 72 x x x      0.5đ

1.c

(1.5đ)

 



2

5 / 2 5 75 0 15

2

x T m x x

x L

        

0.5đ

ThuVienDeThi.com

3

Số cần lập có dạng: ( d chẵn, a, b, c, d khác nhau) abcd 0, a 

TH1: d = 0

Sau khi chọn d có cách chọn 3 6 120 A  , , a b c

TH này có 120 số cần lập

1.0đ

2a

(2.0đ)

TH2: 0 d 

Có 3 cách chọn d

Sau khi chọn d, có 5 cách chọn a

Sau khi chọn d, a có cách chọn 2 5 20 A  ,b c

TH này có 3.5.20 = 300 số cần lập

Vậy tất cả có 120 + 300 = 420 số cần lập

1.0đ

Ta chia 20 số từ 1 đến 20 thành 3 nhóm sau:

: Chia hết cho 3, n(A) = 6   3,6,9,12,15,18 A 

: Chia cho 3 dư 1, n(B) = 7   1,4,7,10,13,16,19 B 

: Chia cho 3 dư 2, n(C) = 7   2,5,8,11,14,17,20 C 

0.5đ

Tổng 3 số đã cho chia hết cho 3 có 4 trường hợp sau:

TH1: 3 số thuộc A

Có cách chọn 3 6 20 C 

0.25đ

TH2: 3 số thuộc B

Có cách chọn 3 7 35 C  0.25đ

TH3: 3 số thuộc C

Có cách chọn 3 7 35 C  0.25đ

2b

(1.5đ)

TH4: 1 số thuộc A, 1 số thuộc B, 1 số thuộc C

Có cách chọn 1 1 1 6 7 7 294 C C C 

Vậy tất cả có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn thỏa mãn ycbt

0.25đ

3a

(2.5đ)

Số hạng tổng quát của khai triển là:

  20 2 20 40 5 20 20 3 1 2 2 1

k k k k k k k T C x C x x

            

1.0đ

ThuVienDeThi.com