Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 tỉnh Bình Định ( khóa ngày 18 - 3 2017)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH

( Khóa ngày 18 - 3 – 2017)

Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát

Bài 1 : (6 điểm)

a) Giải phương trình : 2 2 2 1 tan 2sin ( ) 1 sin 4 x x x

    

b) Chứng minh rằng : 1 2 (2 1) n n n n n C C C n      

Hướng dẫn giải a) Điều kiện : sin 0 x 

Biến đổi : 2 2 2 1 1 2sin ( ) 2 cos sin 4 x x x

    

Đặt , phương trình :   t=1 2 1 2sin ( ), 1 1 4 t x t    

2 2 ( 1) 2 1 4 4 t t t    3 2 3 4 0 t t   

Khi đó :  2 sin ( ) 1 4 x    , 4 x k k Z     

b) Ta có ( Cauchy –Schwarz) 1 2 1 2 n n n n n n n n C C C n C C C         

Mà nên 1 2 0 2 2 1 n n n n n n n C C C C         1 2 (2 1) n n n n n C C C n      

Bài 2 : ( 3 điểm ) Cho dãy số : xác định bởi { } nx

1

* 2

1

1

, (2 1) 2

n n n

x

n N x x x 

       

Đặt , Tính

1 1

2 1 2 1

n

i n

i i

x u x  

    lim n u

Hướng dẫn giải

Ta có :

1 1 1 1

2 1 2 1 1 2 1 (2 1) 2 1 (2 1) 1

n n n i i n

i i i i i i i

x x u x x x x    

             

 , Đặt , ta có

2

1

(2 1) 2

n n n x x x 

   2 1 2 1 (2 1) (2 1) n n n x x x     2 1 n n v x  

, Giả sử là hữu hạn => vô lý nên 1 * 2 1

3

n n n

v

n N v v v 

      

lim 3 n a v   2 0 a a a a    

,Khi đó : => lim nv 

1 1 1

1 1 1 1 3 n

n n u v v v       1 lim 3 n u 

Bài 3 : ( 4 điểm ) Từ tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số . Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra được tạo bởi đúng 3 chữ số khác nhau . Giải : Số có 5 chữ số : ,Gọi A là biến cố “ số được chọn có đúng 3 chữ số khác nhau”: 5 ( ) 9 n 

,Xác suất cần tìm là :

3 8.5! ( ) 9 2! C n A 

3 8 4

.5! 1120 ( ) 9 .2! 2187 C p A  

Bài 4 : Cho tam giác ABC , có ba góc nhọn ,(AB<AC) và đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H, P là giao điểm của đường phân giác trong góc A và BC , M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA, AB , Chứng minh rằng : a) Các đường thẳng AD,BM,CN đồng quy .

ThuVienDeThi.com

b) 2 2 2 cos cos cos 1 DEF

ABC

S A B C S



   

Hướng dẫn giải

a) Ta có : DB=ADcotB , DC=ADcotC=> cot

cot 2

MA C

A MC 

MC = PM.cotC; MA = PM.cot => 2 A cot

cot 2

NA C

A NB 

NA = PN.cot ; NB = PN.cotB => 2 A cot 2

cot

A NA NB B 

Khi đó : ( xe-va) . . 1 DA MC NA DC MA NB 

b) Ta có : , , 2 cos AEF

ABC

S A S  A

A

2 cos CDF

ABC

S B S  A

A

2 cos CDE

ABC

S A S  A

A

2 2 2 cos cos cos 1 CDE AEF DEF

ABC ABC ABC

S S S A B C S S S

      A A

A A A Bài 5 : Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành , M là trung điểm SC , (P)

chứa AM cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ khác C , Chứng minh rằng : 4 ' ' 3 3 2 SB SD SB SD   

Giải :

Gọi O là giao điểm của AC,DB và I là giao điểm của AM, SO :Khi đó : 2 3 SI SO 

Xét tam giác SBD : , ' ' 1 ' ' 3

SB D

SBD

S SB SD S SB SD





       

=> ' ' 2 1 3 2 SBD SB D SBD S S S      4 ' ' 3 3 2 SB SD SB SD   

ThuVienDeThi.com