Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2016-2017 môn Toán lớp 11

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1

—————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học : 2016-2017

Môn: Toán lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

————————————

Câu 1 (2,0 điểm)

Giải phương trình:

2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos ( ). 2 4 x x x    

Câu 2(3,0 điểm) 1.Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.

2.Một người có số tiền 100 triệu đồng quyết định gửi ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Hỏi sau 30 năm thì sô tiền người đó thu được là bao nhiêu, biết rằng hằng năm người đó không rút tiền lãi và số tiền lãi lại được cồng vào vốn của năm sau. Câu 3 (1,5 điểm) Cho đường tròn ( C) có bán kính R.

1. Tính theo R diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn ( C) 2. Kí hiệu Sn là diện tích của n giác đều nội tiếp trong ( C), ( n 3 ). Tính Sn theo R,n

và tìm limSn biết

0

sin 1 x

x lim x  

Câu 4 (2,5 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . 1. Chứng minh rằng ' AC vuông góc với mặt phẳng   ' A BD và đường thẳng ' AC đi qua trọng tâm của tam giác ' A BD . 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a . Câu 5 ( 1,0 điểm)

Cho hàm số

   

2017 2000 2 2000 2 3 2017

2 1 1

, 0 ( )

, 0

x x x ax x x x

x f x x b khi x

             

  

 

Tìm a và b để hàm số liên tục trên R.

-------------------Hết-------------------

ThuVienDeThi.com

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Đáp án gồm 3 trang

Câu Nội dung Điểm I 2 điểm Phương trình đã cho tương đương với 3 2(1 cos ) 3cos2 1 1 (2 ) 2 x x c x      os

2cos 3cos2 sin 2 x x x    0,5 1 3 sin 2 cos2 cos 2 2 x x x   

0.5

sin(2 ) cos 3 x x     0,5

sin(2 ) sin( ) 3 2 x x       0,25

5 2 2 2 3 2 18 3 ( ). 5 2 2 2 3 2 6

x x k x k

k x x k x k

    

    

                          



0,25

II 3,0điểm

1.(1,5 điểm) +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 8 9A cho 8 vị trí còn lại. Vậy 

8 9 9 n A A  +) Giả sử   0;1;2;...;9 B  ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3  nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập     \ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9 B B B B nên số các số loại này là

9 8 9 8 3.8. A A  . Vậy xác suất cần tìm là

9 8 9 8 8 9

3.8. 11 27 9. A A A  

0,5 1,0

2.(1,5 điểm) Kí hiệu An là số tiền thu về sau n năm. Bằng chứng minh quy nạp An = 100(1+0,06)n

( triệu đồng) A30 = 574347117 ( đồng)

1,0 0,5 III

ThuVienDeThi.com

(2,5 điểm) 1.(0,5 điểm) Giả sử tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( C) tâm I. Khi đó SABC = 3SAIB

Mà SAIB = IAIBsin1200

= R2 3 2

nên SABC =

2 3 3 2 R

0,5

2.(1,0 điểm) Giả sử đa giác đều A1A2…An nội tiếp đường tròn ( C) tâm I khi đó

SA1A2..An = nSA1IA2 mà góc A1IA2 = 1 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 sin sin 2 2 n A IA A A A

n S R S R n n n       

Bằng cách đặt x= 2

n

 khi đó 0 n x  và sử dung kết quả

0

sin 1 x

x lim x   ta có:

1 2

2 2 ... 0

sinx lim lim n A A A n x S R R x      

0,5 0,5

IV (3 điểm)

Ta có BD AC  và ' BD AA  nên   ' ' ' BD ACC A AC BD    . Tương tự ta chứng minh được ' ' AC A D  . Từ đó ta suy ra   ' ' AC A BD  .

0,25

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó ' ' G AC A I   chính là giao điểm của

' AC và mặt phẳng   ' A BD . Do // ' ' 2 ' ' ' GI AI AC A C GA A C    suy ra G là trọng tâm

của tam giác ' A BD .

0,5

2. (1,5 điểm) Đặt ' , ' ' , ' ' ; . . . 0 A A m A D n A B p m n p a m n n p p m                    

và ' . ' ; ' . ' A M x A D D N y D C      Ta có ' . . ; ' . . ' ' ' ' …