Thi thử học sinh giỏi lớp 11 lần 2 môn thi Toán học

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2

THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 11 LẦN 2

NĂM HỌC 2016– 2017

Môn thi: TOÁN HỌC

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1(6,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a)

2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos ( ). 2 4 x x x    

b)

2 3 2 3 5 2 5 1 . 6 x x x   

Câu 2(5,0 điểm).

a) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp Tính xác {1;2;...;20}. A  suất để trong ba số được chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.

b) Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số ( ) n u * 1 1 1; 2 3 , . n n n u u u n     A hạng tổng quát theo n. n u

Câu 3(5,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a (a>0). Lấy M thuộc AB, P thuộc

CD sao cho AM=DP = . Mặt phẳng (α) chứa MP và song song với AC cắt tứ 3 a

diện theo một thiết diện.

a. Trình bày cách xác định thiết diện .

b.Tính diện tích thiết diện .

Câu 4(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Điểm

M thuộc cạnh AB sao cho Biết B(6;4), phương trình CM: AM=2MB. 8 0, x y   

điểm D thuộc d: Tìm tọa độ các đỉnh A, C và D. 2 2 0. x y   

Câu 5(2,0 điểm). Cho ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: , , a b c

2 2 2 ( ) . a b c a b c ab bc ca       

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) . P a a b b b c c c a abc          

…………….Hết…………….

ThuVienDeThi.com

Hd chấm

Câu Đáp án Điểm

a) (3,0 điểm)

2 2 3 4sin 3cos2 1 2cos ( ) (1). 2 4 x x x    

Phương trình đã cho tương đương với

3 2(1 cos ) 3cos2 1 1 (2 ) 2 x x c x      os 0,5

2cos 3cos2 sin2 x x x    0,5

1 3 sin2 cos2 cos 2 2 x x x    0,5

sin(2 ) cos 3 x x     0,5

sin(2 ) sin( ) 3 2 x x       0,5

5 2 2 2 3 2 18 3 ( ). 5 2 2 2 3 2 6

x x k x k

k x x k x k

    

    

                          

A 0,5

b) (3,0 điểm)

Điều kiện xác định:

2 5 2 0. x  

Đặt Ta có .

2 5 2 ( 0). 6 x t t   

2 2 5 6 2 x t   0,5

Phương trình đã cho trở thành

3 2 3 2 3 3 6 2 1 6 2 ( 1) x t t x t t       

0,5

3 3 ( 1) 1 1 x t x t t x        1,0

2

2

2 2

1 1 5 2 1 5 2 6 12 8 0 ( 1) 6

x x x x x x x x

                   

0,5

1

(6,0đ)

(tm đk). x 6 28  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 6 28. x 

0,5

ThuVienDeThi.com

a) (3,0 điểm)

Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ tập A là cách. 3 20 1140 C  0,5

Số cách chọn ba số liên tiếp là 18 cách. 0,5

Số cách chọn ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp là 17*2+17*16=306 1,0

Vậy xác suất cần tìm là 1140 18 306 816 68. 1140 1140 95     1,0

b) (2,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi Tìm công ( ) nu

* 1 1 1, 2 3 , . n n n u u u n     A

thức số hạng tổng quát theo n. nu

Với mọi , ta có * nA

1 1 1 2 3 3 2( 3 ) n n n n n n n u u u u         

0,5

Xét dãy số với Ta có: Do đó, dãy số ( ), nv

* 3 , . n n n v u n   A 1 2 . n n v v 

là một cấp số nhân có công bội và số hạng đầu bằng ( ) nv q 2  2.  0,5

Suy ra 1 1. 2 . n n nv v q    0,5

2

(5,0đ)

Vậy 3 3 2 . n n n n n u v     0,5

4

(2,0đ)

M thuộc cạnh AB sao cho Biết B(6;4), phương trình CM: 2 . AM MB  8 0, x y    điểm D thuộc d: Tìm A, C, D 2 2 0. x y   

Gọi I là giao điểm của BD và CM.

Ta có 3 4 (1). DI DC BD BI BI BM       0,5

Từ (1), ta có: ( ;8 ). I CM I t t    D(4t 18;20 4t).  

Khi đó, 9 D d t D(0;2). 2   

0,5

C CM C(c;8 c);CB (6 c;c 4),CD ( c;c 6).          

Ta có: c 2 C(2;6) CB.CD 0 c 6 C(6;2)           

 0,5

A B

C D

M

I

ThuVienDeThi.com