HSG Toán 11 Bình Định khóa 1832017

HSG TOÁN 11 BÌNH ĐỊNH KHÓA 18/3/2017

1. Cho tam giác ABC nhọn, AB <AC. Ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H; P là giao điểm của phân giác trong góc A với BC; M, N lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA và AB. Chứng minh rằng:

a. AD, BM, CN đồng qui.

b. cos2A + cos2B + cos2C = 1 -

ABC

DEF S S

2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D'

khác S. Chứng minh rằng: . 4 ' ' 3 3 2 SB SD SB SD   

Câu 1: a.

Tam giác vuông ADB cho DB = AD.cotB; Tam giác vuông ADC cho DC = AD.cotC

Suy ra = DC

DB

C

B cot cot

Tam giác vuông PMC cho MC = PM.cotC;

Tam giác vuông PMA cho MA = PM.cot 2

A

Suy ra = MA MC

2 cot

cot

A C

Tam giác vuông PNA cho NA = PN.cot ; Tam giác vuông PNB cho NB = PN.cotB 2 A

Suy ra = NB NA

B

A

cot

2 cot

Từ đó = = 1 . Theo định lí Xe-va ta có đpcm DC

DB

MA MC

NB NA

C

B cot cot

2 cot

cot

A C

B

A

cot

2 cot

b. Đặt S1 = dt AEF; S2 = dt BDF; S3 = dt CDE; S = dt ABC.    

Ta có = = = cosA.cosA = cos2A ; S S1

AB AF

AC AE

AC AF

AB AE

Tương tự = cos2B; = cos2C S S2

S S3

cos2A + cos2B + cos2C = + + = = 1 - . đpcm S S1

S S2

S S3

S

S S DEF 

S S DEF

Câu 2.

Gọi I = AMB'D' và O = ACBD,

 S, O, I thẳng hàng (3 điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)

(I là trọng tâm của SAC) 2 3 SI SO  

Vẽ BP // B'I và DN // D'I  .   , P N SO  OP ON 

A

B C D

E F

P

N

M H

ThuVienDeThi.com

P

N

D'

I

O

M

D

B

C

A

S

B'

Đặt . ;' ' SD SB x y SD SB  

  (*) (vì ODN= OBP) 2 3 2 3 ' ' 2 SB SD SP SN SO x y SB SD SI SI SI         , [1;2] x y   

Suy ra:

2 1 1 3 2 4 3 3 x y xy x y            Từ (*):  1 2 x   2 3 2 0 x x      (3 ) 2 x x   2 x y  

  3 3 2 xy  3 2 x y xy

 

 . Đpcm 1 1 3 2 x y  

ThuVienDeThi.com