Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015-2016 môn thi Toán 11

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

TỔ: TOÁN TIN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học: 2015-2016

Môn thi: TOÁN 11 Ngày thi: 10/03/2016 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 06 câu, gồm 01 trang

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác: ) 2 4 ( sin 4 1 2 sin 2 4 cos sin 2 2 x x x x     

b) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn: 2 cot 2 tan tan C B A  

c) Giải phương trình: 17 4 3 1 2      x x x Câu 2: (4,0 điểm)

a) Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số có dạng tính xác suất để chọn được một số abcde thỏa mãn e d c b a    

b) Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức: . 4 x

n x x x P )] 1 1(3 [ ) (   

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

3

1 2

2 1

1 3 8 3      n n n C C C

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho dãy số : ; ) ( n u

  

 



 1 2

3

1

1

n n u u

u * N n 

a) Chứng minh rằng dãy ( ): là một cấp số nhân lùi vô hạn. nv 1   n n u v

b) Tính n u lim Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x. mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? b) Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x. Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD ,biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng

AB có phương trình: , điểm thuộc cạnh BC,đường thẳng AM 0 18 4 3    y x )1 ; 4 21 (  M

cắt đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN = 25.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD. Câu 6: (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn: a + b + c = 3.

Chứng minh rằng: + + 2

2

b a

a  2

2

c b

b  2

2

a c

c  2 3 

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) ......................HẾT.............................

Số báo danh

………………..

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016

Câu Ý Hướng dẫn-Đáp án Điểm 1 a ) 2 4 ( sin 4 1 2 sin 2 4 cos sin 2 2 x x x x     

) 2 )( ( 2 2 1 sin

2 4 cos

1 sin 0 ) 2 4 )(cos 1 (sin

0 ) sin 1( 2 )1 (sin 4 cos

0 ) sin 1( 2 4 cos 4 cos sin

0 )] 2 cos( 1[2 1 2 sin 2 4 cos sin 2

Z k k x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

     





      

    

    

      

 

 0,5

0,5

0,5

0,5

b

gt

2 sin

2 cos 2

cos cos

sin

C

C

B A

C    B A C cos cos 2 sin 2  

) cos( ) cos( cos 1 B A B A C      cos(A-B)=1 .do 0 < A,B <   ) ( 2 Z k k B A      suy ra A = B cân đỉnh C ABC  

0,5

0,5 0,5

0,5 c Điều kiện : với điều kiện trên phương trình 1   x

17 4 3 1 2      x x x  0 15 4 3 2 1 2       x x x

0 ) 5 3 )( 3 ( 2 1

3      

  x x x

x 0 ) 5 3 2 1

1 )( 3 (        x x x

( vì ) 0 3   x 0 5 3 2 1

1     

x x

3  x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

0,5

0,5

0,5 0,5 2 a Gọi B là biến cố cần tính xác suất Không gian mẫu (do ) 4 10 .9   0  a

vì mà a mà số bé nhất nên b,c,d,e cũng khác không.vậy a, b,c,d,e là 5 số được 0  a chọn trong 9 số từ 1 đến 9 xếp thứ tự duy nhất.có các trường hợp xảy ra sau: +Trường hợp 1:Chọn mỗi số là một cách xếp duy nhất thứ tự 5 phần e d c b a     tử trên được chọn trong 9 phần tử nên có số tạo thành 5 9 C

+Trường hợp 2: Chọn do có 2 số bằng nhau nên chỉ cần chọn 4 số 



   

   

e d c b a

e d c b a

trong 9 số xếp thứ tự duy nhất vậy có số 4 9 .2 C +Trường hợp 3: do có 2 cặp số bằng nhau (a = b;c = d)nên chỉ cần e d c b a     chọn 3 số khác nhau trong 9 số xếp thứ tự duy nhất . vậy có số 3 9 C

Vậy có tất cả = + + B 5 9 C 4 9 .2 C 3 9 C

( + + )/( ) =   ) (B P 5 9 C 4 9 .2 C 3 9 C 4 10 .9 15000

77

0,5

0,5

0,5

0,5

b Từ gt suy ra : 11 2 , 2

)1 ( )1 ( ) 2 )( 1 ( 4 )1 ( 3           n n n n n n n n

Theo khai triển nhị thức newton ta có

0,5

ThuVienDeThi.com