Đề thi học sinh giỏi trại hè Hùng Vương lần thứ IX môn Toán Lớp 11 năm 2013 - Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ

SỞ GD& ĐT HÒA BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX

TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN : TOÁN –LỚP 11

HOÀNG VĂN THỤ Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013

Câu 1. ( 5 điểm) Cho dãy số   nu xác định bởi

4 2

* 1 1 3

2013 2014, , 4026

n n

n n

u u u n N u u 

     

Đặt * 3 1

1 , 2013

n

n

k k v n u      ¥ . Tính lim nv .

Câu 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD giao

với phân giác góc ·BAC tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD tại F( khác B), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

Câu 3. Tìm tất cả các hàm số : f  ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:

1.   ( ) ( ) f x y f x f y    với mọi ,x y ¡ .

2. ( ) 1 x f x e   với mỗi x¡ .

Câu 4. Giải hệ phương trình sau:

 

2

3

2 2

( )

( , )

2 3 2 1 11

y x x y

x y x y

x y x

            

¡

Câu 5. Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số : các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm.

a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8.

b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN

Câu 1: Cho dãy số   nu xác định bởi

4 2

* 1 1 3

2013 2014, , 4026

n n

n n

u u u n N u u 

     

Đặt * 3 1

1 , 2013

n

n

k k v n u      ¥ . Tính lim nv .

Ta có     

3 4 2

1 3 2 2013 2013 2013 2013 2013 4026 1 4026

n n n n

n n n n

u u u u u u u u 

          

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được * 2013, n u n N   .

    

3

1 3

2013 2013 2013 (1) ( 2013) 2013

n n n

n n

u u u u u 

      

Từ (1) suy ra 3 3 1 1

1 1 1 1 1 1 2013 2013 2013 2013 2013 2013 n n n n n n u u u u u u             

Do đó

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 2013 2013 2013 2013 2013

n

n

k k k n n v u u u u u    

                

Ta chứng minh lim n u  .

Thật vậy, ta có  

2 2 2

* 1 3 3

2013 4026 2013 0, 4026 4026

n n n n n

n n n n

u u u u u n N u u u u 

           

Suy ra   nu là dãy tăng, ta có 1 2 2014 ... u u   

Giả sử ngược lại   nu bị chặn trên và   nu là dãy tăng nên lim n u a   thì 2014 a  . khi đó

4 2

3

2013 2013 2014 4026 a a a a a        ( vô lý). Suy ra   nu không ị chặn trên, do đó lim n u .

Vậy

1

1 lim lim 1 1 2013 n

k v u 

         

Câu 2: . Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

giao với phân giác góc ·BAC tại E nằm trong tam giác ABC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD tại F( khác B), AF giao với BE tại I. CI giao với BD tại K. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

ThuVienDeThi.com