Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11- THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm)

a. Giải phương trình sin 3tan sin 2 2 tan sin x x x x x     .

b. Cho phương trình sin4 4cos2 sin2 2 0, x x m x m     m là tham số. Tìm tất cả các giá trị

của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 ; 8 6

         

.

Câu 2 (1,0 điểm). Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của các số hạng bằng 5, tích của các số hạng bằng 45. Hãy tìm cấp số cộng đó.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương, gọi 6a là hệ số của số hạng chứa 6x trong khai triển

biểu thức 3 3 (2 )( 1)n x x   . Tìm n biết 6 4 27 a n   .

Câu 4 (1,0 điểm). Cho E là tập các số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ tập

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} X  . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập . E Tính xác suất để số được chọn chia

hết cho 3.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số   n u xác định bởi: 1

1 4 u  và    

2 1 2 3 1 2 4 9 ... 1 1

n n

u u u n u u n n

        ,

với , 2 n n    . Tìm giới hạn   2 lim 2017 4 9 n n n u   .

Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang cân, đáy lớn , AB , AD a 

, DC a   60 . DAB   Mặt bên SAB là tam giác đều, cạnh bên 2 . SC a 

a. Chứng minh rằng BD vuông góc với . SC

b. Gọi I là giao điểm của AC và , BD điểm K thay đổi trên đoạn IC ( K khác I và ). C Mặt phẳng ( ) P đi qua , K ( ) P song song với BD và . SC Tính độ dài đoạn KC theo a để thiết diện xác định bởi ( ) P và hình chóp .S ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho góc  90 xAy   và tia At là tia phân giác của góc . xAy Một hình tròn 1 ( ) C

(gọi là hình tròn thứ nhất) có tâm nằm trên tia At và bán kính 1 2017, R  đồng thời 1 ( ) C tiếp xúc

với hai tia , Ax Ay. Vẽ hình tròn thứ hai 2 ( ) C có tâm thuộc tia , At bán kính bằng 2 R nhỏ hơn bán

kính của hình tròn thứ nhất, 2 ( ) C tiếp xúc với hai tia , Ax Ay và tiếp xúc ngoài với hình tròn thứ nhất. Tiếp tục làm như trên ta được một dãy các hình tròn có bán kính giảm dần. Tính tổng diện tích các hình tròn trong dãy các hình tròn trên.

Câu 8 (1,0 điểm). Cho phương trình 4 3 2 1 0 x ax bx cx     có các hệ số , , a b c không âm. Biết

rằng phương trình đã cho có bốn nghiệm. Chứng minh rằng 8 2 4 b c a   .

------Hết------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….; Số báo danh:………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Câu 6, 7 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. II. ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11- THPT

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

a. (1,0điểm) ĐKXĐ: cos 0; x  tan sin 0. x x   Khi đó phương trình đã cho tương đương sin 3tan sin2 2tan 2sin x x x x x     0,25

2 sin 0

2cos 3cos 1 0

x

x x

      

sin 0 ( ) cos 1 ( ) 1 cos 2

x l x l

x

       

0,5

2 2 , . 3 x k k      

Vậy nghiệm của phương trình là 2 2 , 3 x k k .     

0,25

b. (1,0 điểm) (sin2 2)(2cos2 ) 0 Pt x x m     0,25

cos2 2 m x   0,25

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trên 3 ; 8 6          

khi 1 1 2 2 m   0,25

1 2. m   Vậy các giá trị của m là 1 2. m   0,25

2

(1,0 điểm) Gọi năm số thỏa mãn là 2 , , , , 2 . x d x d x x d x d     Theo đề ra ta có ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 5 ( 2 )( ) ( )( 2 ) 45 x d x d x x d x d x d x d x x d x d

               

0,25

2 2

1 1 . 2 (1 4 )(1 ) 45 2

x x

d d d d

                     

0,25

Với 1; 2 x d   cấp số cộng là 3; 1; 1; 3; 5.  0,25

Với 1; 2 x d   cấp số cộng là 5; 3; 1; …