Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Chủ đề 2 Tứ giác nội tiếp

CHUYÊN ĐỀ 4

CHỦ ĐỀ 2. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

- Hai đỉnh cùng nhìn một cạnh

.

A và B là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CD

Đặc biệt

µ µ

1 1 A B 

· · 90 CBD CAD   

DeThi.edu.vn

A, B là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CD.

- Hai góc đối bù nhau

Đặc biệt

Góc trong = góc ngoài tại đỉnh đối diện

là góc ngoài tại C

Cùng cách đều một điểm

OA=OB=OC=OD

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương pháp giải

a) Phương pháp 1. Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.

µ µ 180 A C   

µ µ 180 B D   

µ µ 90 A C   

µ · A BCx  ãBCx

DeThi.edu.vn

Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I,

tức là thì điểm I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D. Hay nói cách

khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.

b) Phương pháp 2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180º

Cho tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được hoặc thì tứ giác ABCD nội tiếp

trong một đường tròn.

c) Phương pháp 3. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc

bằng nhau.

Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng và bằng nhau và cùng nhìn cạnh DC thì tứ

giác ABCD nội tiếp đường tròn.

d) Phương pháp 4: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối diện bằng nhau thì tứ giác đó nội

tiếp được trong một đường tròn.

Cho tam giác ABCD. Nếu chứng minh được thì tứ giác ABCD cũng nội tiếp trong một

đường tròn.

e) Phương pháp 5: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện đỉnh đó thì

nội tiếp được trong một đường tròn.

Nếu cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A mà bằng góc trong tại đỉnh C (tức là

góc C của tứ giác đó) thì ABCD cũng nội tiếp đường tròn.

f) Phương pháp 6: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chú ý: Có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình

thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Định lí Pto-lê-mê:

Trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện.

Chứng minh

GT Tứ giác ABCD nội tiếp (O)

KL

Láy sao cho

IA IB IC ID   

µ µ 180 A C    µ µ 180 B D   

·DAC ·DBC

µ µ µ µ A C B D   

. . . AC BD AB DC AD BC  

E BD  · · BAC EAD 

DeThi.edu.vn

∆DAE ~ ∆CAB (g.g) (1)

Tương tự: ∆BAE ~ ∆CAD (g.g)

(2)

Từ (1) và (2)

(điều phải chứng minh)

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp.

Lời giải

a) Xét tứ giác CEHD ta có: (vì BE là đường cao) và

(vì AD là đường cao)

.

Mà là hai góc đối diện của tứ giác CEHD.

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

b) Theo giả thiết: BE là đường cao

AD là đường cao .

Do đó E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90°, suy ra E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính

AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác AEDB nội tiếp.

Þ . . AD DE AD BC AC DE AC CB    

BE AB CD AC  

. . BE AC CD AB  

. . . . AD BC AB CD AC DE EB AC    

. . . AD BC AB CD AC BD   

· 90 CEH   · 90 CDH  

· · 180 CEH CDH     · · , CEH CDH

· 90 BE AC BEA     

· 90 AD BC BDA     

DeThi.edu.vn