Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Tìm GTLN Và GTNN

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

A. Các kiến thức thường sử dụng là:

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: 2 a b ab   ;

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức:      2 2 2 2 2 ac bd a b c d     (BĐT: Bunhiacopxki);

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c d  .

+ a b a b    ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab  0.

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Nếu  

2 ( ) y a f x   thì min y = a khi f(x) = 0.

Nếu  

2 ( ) y a f x   thì max y = a khi f(x) = 0.

+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

• Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC

Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) 2 4 4 11 A x x   

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

c) 2 2 2 4 7 C x x y y     

Giải: a)  

2 2 2 4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10 A x x x x x          

 Min A = 10 khi 1 2 x  .

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36

 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

c) 2 2 2 4 7 C x x y y     

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2

 Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

DeThi.edu.vn

Giải:

a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21  21

 Max A = 21 khi x = -4.

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7  7

 Max B = 7 khi x = 1, 1 2 y  .

Bài toán 3: Tìm GTNN của:

a) 1 2 3 4 M x x x x       

b)  

2 2 1 3 2 1 2 N x x    

Giải: a) 1 2 3 4 M x x x x       

Ta có: 1 4 1 4 1 4 3 x x x x x x         

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1 4 x  

2 3 2 3 2 3 1 x x x x x x           

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2 3 x  

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 3 x  . b)  

2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 N x x x x        

Đặt 2 1 t x   thì t  0

Do đó N = t2 – 3t + 2 = 2 3 2

1 ( ) 4 t   1 4 N   .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 3 0 2 2 t t   

Do đó 1 4 N  khi

3 5 2 1 3 3 2 4 2 1 3 1 2 2 2 1 2 4

x x t x

x x

                     

Vậy min 1 5 4 4 N x    hay 1 4 x  .

Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.

Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

DeThi.edu.vn

2 2 2 2 2

2 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x y               

2 2 1 ( ) 2 M x y   

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó 2 2 1 2 x y   và 2 2 1 1 2 2 x y x y     

Ta có: 2 2 1 ( ) 2 M x y   và 2 2 1 1 1 1 ( ) . 2 2 2 4 x y M     

Do đó 1 4 M  và dấu “=” xảy ra 1 2 x y   

Vậy GTNN của 1 1 4 2 M x y    

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.

Giải:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0

x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2

Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0

2

2

3 9 5 2. . 0 2 4 4

3 5 3 5 2 4 2 2

5 3 5 2 2 2 3 5 3 5 2 2

t t

t t

t

t

    

           

  

   

Vì t = x2 + y2 nên :

DeThi.edu.vn