Bổ sung về kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân - Môn Toán Lớp 12 - Nguyễn Ngọc Ân

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân

1

BỔ SUNG VỀ KỸ THUẬT TÍNH THỂ TÍCH BẰNG TÍCH PHÂN

Bài viết này bổ sung về kỹ thuật tính thể tích vật thể tròn xoay bằng tích phân theo công thức mở rộng. 1) Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay bằng tích phân : a) Công thức gốc: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b khi quay quanh trục Ox là:

b) Công thức mở rộng: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử . Khi đó thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b khi quay quanh trục Ox có thể tính theo công thức sau:

Công thức (2) có thể suy ra từ công thức (1) bằng cách xét các trường hợp vị trí tương đối của hai đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) trên đoạn [a;b] rồi sử dụng phương pháp cộng, trừ thể tích. Ngược lại, (1) có thể xem là một trường hợp riêng của (2) khi g(x)=0 (trục Ox). Khi này điều kiện hiển nhiên đúng. 2) Ví dụ áp dụng: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x2, g(x) = x+2 khi quay quanh trục Ox.

Giải: Cách 1: Dùng công thức gốc (1).

Giải phương trình hoành độ giao điểm: .

Đồ thị như sau:

( ). ( ) 0, [a;b] f x g x x  

2 2 ( ) ( ) (2) b V

a

f x g x dx    

( ). ( ) 0, [a;b] f x g x x  

2 2 1 2 2 0 2 x x x x x x

         

2( ) (1) b V

a

f x dx   

DeThi.edu.vn

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân

2

Từ đồ thị, áp dụng công thức (1) bằng cách trừ thể tích, ta có:

Cách 2: Dùng công thức mở rộng (2).

Giải phương trình hoành độ giao điểm: .

Vì: nên áp dụng công thức (2) ta có:

Mà

Vậy:

  1 2

2 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 ( 2) ( ) 4 4 V V V x dx x dx x x x dx      

          

2

1

3 5 2 72

5 2 4 3 5 x x x x  



            

2 2 1 2 2 0 2 x x x x x x

          2 ( ) 0 x [-1;2], g(x)=x+2 0 x [-1;2] f(x).g(x) 0 x [ 1;2] f x x        

2 2 4 2 4 2

1 1 ( 2) 4 4 V x x dx x x x dx   

         

4 2 2 2 2 1 4 4 0 ( 2).( 2) 0 2 0 2

x x x x x x x x x x x

                 

2

1

5 3 2 4 2 2 72 . 5 1

( 4 4) 2 4 5 3 V x x x x x dx x x   



  

               

DeThi.edu.vn

Giáo viên Nguyễn Ngọc Ấn – Trao đổi chuyên môn – 0839 368 042 – ngocantg@gmail.com

Bổ sung kỹ thuật tính thể tích bằng tích phân

3

Lưu ý: Nếu thiếu điều kiện thì công thức (2) không đúng. Chẳng hạn: Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x)=x, g(x)=-x và hai đường thẳng x=0, x= 3 khi quay quanh trục Ox. Ta thấy tình hình như sau: + Tính đúng: Từ đồ thị ta thấy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x)=x, g(x)=-x và hai đường thẳng x=0, x= 3 nhận trục Ox làm trục đối xứng nên thể tích cần tìm chính là thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x)=x, trục Ox và hai đường thẳng x=0, x= 3 khi quay quanh trục Ox.

Vậy thể tích đúng cần tìm là: .

(đây chính là thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng 3) + Nếu tính máy móc theo công thức (2) ta có:

3) Kỹ thuật áp dụng công thức (2):

( ). ( ) 0, [a;b] f x g x x  

3 3

2

0 0

9 3

x V x dx       

3 3 2 2

0 0 ( ) 0 0 (?!) V x x dx dx        

DeThi.edu.vn