Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Nội dung 4 Tiệm cận của hàm số

NỘI DUNG 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

PHẦN A. LÝ THUYẾT

1. Tiệm cận đứng: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:  x = x0 được gọi là TCĐ

2. Tiệm cận ngang: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:  y = y0 được gọi là TCN

3. Tiệm cận xiên: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:  y = ax + b được gọi là

TCX

*Cách xác định: ; b = hoặc ( ; b = )

(Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang)

*Chú ý: + Hàm đa thức bậc 3, bậc 4 không có tiệm cận; hàm hữu tỷ chỉ có TCĐ và TCN; hàm

chỉ có thể có TCĐ và TCX; …

* Nhắc lại 1 số giới hạn (lớp 11): + Hàm đa thức: (Dấu tùy thuộc vào dấu của và n chẵn hay lẻ)

+ Hàm phân thức:  (nếu bậc của tử < bậc của mẫu)

 (nếu bậc tử > bậc mẫu)

 ( nếu bậc tử = bậc mẫu)(Kết quả giới

hạn là tỉ số của hệ số đi với bậc cao nhất)

 (Nếu ≠ 0) (thay x0 vào tỉ số là xong)

 (Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) ≠ 0, mẫu Q(x0) = 0)

 (Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) = 0,

mẫu Q(x0) = 0) + Hàm vô tỷ (chứa căn): tùy theo tình huống mà áp dụng: nhân lượng liên hợp, đặt biến chứa bậc cao nhất ra ngoài căn thức, áp dụng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn (chi tiết SGK 11)

PHẦN B. VÍ DỤ MẪU

VD1: Tìm TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y =

Giải - TXĐ: D = R \ { 2}

0

0

0

0

lim

lim

lim

lim

x x

x x

x x

x x

y

y

y

y

















           

0

0

lim

lim

x

x

y y

y y





  

 

lim[ ( ) ( )] 0

lim[ ( ) ( )] 0

x

x

f x ax b

f x ax b





    

   

( ) lim x

f x a x   lim[ ( ) ] x f x ax   ( ) lim x

f x a x   lim[ ( ) ] x f x ax  

ac 1 bac 1 b

2 1 bac

bac

1 1 0 lim ( . ... ) n n n n x a x a x a        na

( ) lim 0 ( ) x

P x Q x  

( ) lim ( ) x

P x Q x  

1 1 0 1 1 0

... ( ) lim lim ( ) ...

n n n n n n n x x n n n

a x a x a a P x Q x b x b x b b

 

   

     

0

0

0

( ) ( ) lim ( ) ( ) x x

P x P x Q x Q x    0 ( ) Q x ( ) ( ) P x Q x

0

( ) lim ( ) x x

P x Q x   

0 0 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x A x P x A x Q x x x B x B x          

2 1 2 x x

 



x x

   

x x

   

0

0

x x

x x



   

DeThi.edu.vn

- Vì nên y = 2 là TCN ; vì nên x = 2 là TCĐ

VD2 : Tìm phương trình tiệm cận của y =

Giải - TXĐ : D = R \ {3 ; 5}

- Xét :  y = 2 là TCN

 x = 3 không là TCĐ

 x = 5 là TCĐ

VD3 : Tìm phương trình tiệm cận của y =

Giải - TXĐ : D = R \ {0 ; 2}

- Xét :  x = 0 là TCĐ

 x = 2 là TCĐ

x + 2)] =  y = x + 2 là TCX

2 1 lim lim 2 2 x x

x y x  

        2 2

2 1 lim lim 2 x x

x y x    

    

2

2 2 7 3 8 15 x x x x    

2

2 2 7 3 lim lim 2 8 15 x x

x x y x x  

     

2

2 3 3 3 3 2 7 3 ( 3)(2 1) 2 1 5 lim lim lim lim 8 15 ( 3)( 5) 5 2 x x x x x x x x x y x x x x x                      

2

2 5 5

2 7 3 lim lim 8 15 x x

x x y x x    

     

3

2

2 2 x x x  

3

2 0 0

2 lim lim 2 x x

x y x x    

   

3

2 2 2

2 lim lim 2 x x

x y x x    

   

lim[ ( ) ( x f x   2 4 2 lim 0 2 x

x x x 

  

DeThi.edu.vn