Bài tập Hình học Lớp 9 - Bùi Thị Liên (Có lời giải)

Bài toán của Bùi T Liên:

Đề bài: Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A. Vẽ đường tròn (A; AO). Dây BC thay đổi của đường tròn (A) tiếp xúc với đường tròn (O) tại H. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên OB, OC.

a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC b) Chứng minh: MN đi qua điểm cố định. c) Chứng minh: OB.OC = 2R2

d) Tìm vị trí của BC để tam giác OMN có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

a) OM.OB = ON.OC = OH2

b) Tia OA cắt (A) tại D. MN cắt OD tại E.

OM.OB = ON.OC => BCNM nội tiếp => góc OMN = OCH = 900 – COH = 900 – BOD => tam giác OME vuông tại E => tgOME đồng dạng tgODB (g.g.)

=> OE.OD = OM.OB = OH2 => OE = R/2 => E cố định.

E D

N

M

C

B

O A

H

DeThi.edu.vn

c) Tam giác DCO đồng dạng tgBHO (g.g.)

=> OD/OB = OC/OH => OB.OC = OH.OD = 2R2

d) TgOMN đồng dạng tgOCB (g.g.) => MN/BC = OE/OH = 1/2

=> MN = BC/2. Do SOMN = MN.OE/2 = R.BC/4 => SOMN max  BCmax  BC = 2R (BC là đường kính của (A)  BC là tiếp tuyến của (O) tại A.

DeThi.edu.vn