Các bài tập về Đường tròn trong chương trình Hình học Lớp 9

Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.

3) Chứng minh: .

1

2 2

1

1

1

1 N M

A

B

O H

E

F

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên: Tứ giác MAOB có

Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Ta có: (so le trong, AE // MO) và

NMF và NAM có: NMF NAM (g.g)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

MO là đường trung trực của AB AH MO và HA = HB MAF và MEA có: MAF MEA (g.g)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA2 = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO

MFH MOE (c.g.c)

Vì là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

2

2 HB EF 1 HF MF  

· · 0 MAO MBO 90  · · 0 MAO MBO 180   

µ µ 1 1 M E  µ µ » 1 1 sđ 1 A E AF 2         µ µ 1 1 M A    · µ µ 1 1 MNA chung; M A   

2 NM NF NM NF.NA NA NM    

     · µ µ 1 1 AME chung; A E   

2 MA MF MA MF.ME ME MA    

ME MO MH MF  

  µ µ 1 2 H E   ãBAE

DeThi.edu.vn

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: NH2 = NF.NA . Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, có: HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN Mà HA = HB

Vì AE // MN nên (hệ quả của định lí Ta-lét)

Bài 5. Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A và C khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.

1) Chứng minh rằng: KO2 – KM2 = R2. 2) Chứng minh rằng tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. 3) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn.

1

M

I

K C

O

B

A

D

1

1

1 Q

Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK. Ta có: OA = OB = R và MA = MB (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

OM là đường trung trực của AB tại H MAC có IM = IA và KM = KC

IK là đường trung bình của MAC IK // AC hay IP // AH

µ µ »

µ µ µ µ µ µ

2 2

1 2

0 1 2 1 1

1 E A = EB 2

H A

N H N A 90

HF N

đ

A

s  

 

   

  









 

 2 2 NM NH NM NH    

2 2

2 2 HB HA FA.NA NA HF HF FA.FN NF    

EF FA MF NF 

2

2 HB EF NA FA NF 1 HF MF NF NF NF      

 OM AB      

DeThi.edu.vn

MAH có IM = IA và IP // AH PM = PH Vì IK // AC và OM AC tại P Các tam giác KPO, KPM vuông tại P Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

OAM vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến tại A của (O)) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: Mà (đpcm).

Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cùng phía với MC)

KQO vuông tại Q (định lí Py-ta-go) Mà

KQD và KAQ có:

KQD KAQ (g.g)

KCD KAC (c.g.c)

Tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDM có

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà

Nhưng hai góc ở vị trí so le trong MK // AE AEKM là hình thang Hình thang AEKM (AE // MK) có IA = IM và NE = NK

IN là đường trung bình của hình thang AEKM (2 góc đồng vị)

Mặt khác:

AIFN là tứ giác nội tiếp 4 điểm A, I, F, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm). Bài 5. Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O). 1. Chứng minh: SO AB. 2. Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

   OM IK   

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 KO KP PO và KM KP PM

KO KM PO PM (PO PM)(PO PM)

OM.(PH OH PM) OM.OH (do PM PH)

   

      

     

2 2 OM.OH …