Lời giải Câu III trong đề thi thư vao Lớp 10 chuyên toan ĐHKHTN năm 2019 vong 3

Câu III ( Thi thử vào chuyên toán ĐHKHTN 2019 vòng 3) Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp (O) gọi D,E,F là tiếp điểm với cạnh BC;AC;AB, gọi M,N,P là trung điểm DF,DE,EF . Kẻ BK vuông góc DE; CL vuông góc DF Q thuộc (O) sao cho góc PQD vuông

a) Chứng minh tam giác BMK đồng dạng với tam giác DFE b) Chứng minh MK//NL c) Chứng minh MN, KL, QD đồng quy

Hướng đẫn a) ta có tứ giác BMDK nội tiếp suy ra ; suy ra tam giác BMK đồng dạng với tam giác DFE (g.g) b) Tương tự tứ giác CLDN nội tiếp suy ra từ (1) (2) (3) suy ra c) (Ta có hai tam giác đồng dạng thì tỷ số 2 đường trung tuyến , tỷ số 2 đường kính đường tròn ngoại tiếp đó bằng tỷ số đồng dạng) Kẻ đường kính DS thì ( do GT) , gọi G là trung điểm MK . Ta có BMK đồng dạng với DFE BD là đường kính tròn ngoại tiếp BMK, DF là đường kính tròn ngoại tiếp DFE

BG là trung tuyến BMK, DP là trung tuyến DFE nên

0 90 BMD BKD    BKM BDM DEF    BMK BDK DFE   

(1); (2); (3) NLD NCD KMD KBD KBD NCD sole       / / KMD DLN MK NL   

SP QD   

 

  ,(1) BG BD DP DS 

( ); KMD DLN DCN EDF ( . ) EFS KDM cung bu EDF

EFS DKM dd SEF g g          

DeThi.edu.vn

DG, SP là trung tuyến hai tam giác này , DS, BD cũng là đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác

suy ra Từ (1) và (2) suy ra suy ra

đồng dạng với suy ra mà gọi DG cắt SP tại Q/ thì vuông tại Q/ suy ra Xét hình thang MNLK gọi MN cắt LK tại H theo bổ đề hình thang thì H,G, D thẳng hàng suy ra H,Q,G,D thẳng hàng hay MN, KL, QD đồng quy ( Trong hình thang có 2 cạnh bên không bằng nhau giao điểm hai đường chéo , giao điểm hai cạnh bên trung điểm hai đáy thẳng hàng)

; DKM SEF   ;(2) DG BD SP DS  BG BD DG DP DS PS  

BDG  ( . . ) DSP c c c  BDG DSP  

0 0 90 90 BDG GDS PSD GDS       / DQ S 

/ Q Q 

DeThi.edu.vn