Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

Bài 1 (4 điểm).

Giải phương trình: 2 2 2 2sin2 tan cot2

x x x    

.

Bài 2 (4 điểm).

Cho dãy số   n u xác định bởi  

1

* 1

4

1 4 4 1 2 9 n n n

u

u u u n N 

       

.

Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số.

Bài 3 (4 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc · · BAE CAF  ,

gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài

AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và

tam giác ABC có diện tích bằng nhau.

Bài 4 (4 điểm)

Cho tập hợp   A 1;2;3;...;18  . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho

hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.

Bài 5 (4 điểm). Cho các số dương , , a b c thoả mãn 3 a b c    . Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a         

---------- Hết ----------

Họ và tên :.......................................................... Số báo danh :.......................................

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

MÔN TOÁN Bài Lời giải

Điểm

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

Bài 1 Giải phương trình: 2 2 2 2sin2 tan cot2

x x x    

.

Lời giải : Điều kiện : 

cos 0 sin2 0 1 tan cot2 0

x

x x x

        

Ta có :

2 2sin cos2 1 tan cot2 sin2 sin2 x x x x x x    

Do đó phương trình đã cho tương đương với :

  2 2 sin2 2 sin2 x x   

   sin2 1 . 2 sin2 2 0 x x    

sin2 1

2 sin2 2

x

x

     

sin2 1

1 sin2 2

x

x

     

( Thỏa điều kiện (1) )

Giải các phương trình trên ta được :

  5 ; ; 2 12 12 x k x k x k k Z             

1đ

1 đ

1 đ

1 đ

Bài 2 Cho dãy số   n u xác định bởi

 

1

* 1

4

1 4 4 1 2 9 n n n

u

u u u n N 

       

.

Tìm công thức số hạng tổng quát n u của dãy số.

Lời giải: Đặt

* 1 2 n n x u n N   

Ta có 0 nx  và

2 * 1 2 , n n x u n N   hay

2 1 2

n n

x u  

Thay vào giả thiết, ta được:

   

2 2 1

2 2 2 2 1 1

1 1 1 4 4 2 9 2

9 9 1 8 8 3 4

n n

n

n n n n n

x x x

x x x x x



 

          

       

Suy ra:

* 1 3 4 n n x x n N    ( Do

* 0 , nx n N   )

1 đ

1 đ

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

Hay

1 * 1 3 3 4.3 , n n n n n x x n N 

  

Đặt

* 3 , n n n y x n N   . Ta có:

* 1 4.3 ,

n n n y y n N   

Từ đó   1 * 1 1 4 3 3 ..... 3 , n n ny y n N       

Hay

1 * 1 1 6 2.3 , n ny y n N     

Theo cách đặt ta có: 1 1 3 9 3 2.3

n n x y y       .

Suy ra:

*

1 1 2 , 3 n n x n N    

Do đó

*

1 2 2 1 4 1 3 , 2 3 3 n n n u n N            

1 đ

1 đ

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc

· · BAE CAF  , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường

thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.

Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Đặt · · · , . BAE CAF EAF      Tacó

  1 1 . .sin . .sin 2 2 ABC S AB AF AC AF          . . 4 AF AB CD AC BD R  

(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN là

1 1 . .sin . .sin( ) 2 2 AMDN S AM AD AD AN      

0,5đ

1,5 đ

N M

D

O

A

B C E F

DeThi.edu.vn