Đề thi học sinh giỏi cấp cụm trường THPT môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 11 Ngày thi: 01/3/2016 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau:

1) . 2) Bài 2 (4 điểm)

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.

2) Cho là số nguyên dương, chứng minh

Bài 3 (4 điểm)

Cho dãy số thỏa mãn:

1) Chứng minh

2) Tính

Bài 4 (4 điểm)

1) Cho tam giác có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác không có hai góc lớn hơn 2) Cho tam giác nhọn. Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam giác sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5 ( 4 điểm)

Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm bất kỳ trên cạnh ( không trùng với và ). Mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng cắt lần lượt tại

1) Chứng minh mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định.

2) Chứng minh biểu thức có giá trị không đổi.

---------------- HẾT ----------------

Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

sin cos 2sin3 x x x   sin2 2 3. x tanx  

n

0 1 1 2 2 3 1 1 2 ... . n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C       

  nu

    1

1

2 1. 1

1 1 n n

n u u n

u



      



2

1, 1. 1

n n u n n n     

2 . . lim ( 1)

n n u n 

ABC

ABC

0 60 . ABC ABC MA MB MC  

.S ABCD M SC M S C   AM BD , SB SD , . E F

 

SB SD SC T SE SF SM   

DeThi.edu.vn

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11

Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 Giải pt… 4 điểm Giải pt: ????- ????= 2???3? 2 điểm Pt tương đương ???3?= sin (?-

? 4) 1,0

Câu 1

Pt có hai nghiệm ?= ―

? 8 + ?? ; ?=

5? 16 +

??

2 với ?∈? 1,0

Giải pt: ???2?+2????= 3. 2 điểm

Điều kiện: ????≠0 hay ?≠

? 2 + ??, ?∈?? 0,5

Đặt ?= ???? , ?∈?, ta có ???2?=

2? 1 + ?2 0,5

Pt trở thành :

2? 1 + ?2 +2?= 3 ⇔2?3 - 3?2 +4?- 3 = 0⇔?= 1 0,5

Câu 2

Với ?= 1 = ???

? 4 nên ?=

? 4 + ??, ?∈?? là nghiệm của pt. 0,5 Bài 2 4 điểm Có bao nhiêu chữ số….. 2 điểm Câu 1

Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập. 0,5 Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất số liền sau lớn hơn số liền trước, 1,0

Số số lập được là ?5

9 = 126 số 0,5

Chứng minh rằng: ?0

??1

?+ ?1

??2

?+ ?2

??3

?+ … + ??-1

???

?= ??+1

2?. 2 điểm Xét khai triển: (1 + ?)?= ?0

?+ ??1

?+ ?2?2

?+ … + ??-1??-1

? + ????

? với ?∈?. (?+ 1)?= ???0

?+ ??-1?1

?+ ??-2?2

?+ … + ???-1

? + ??

?

0,5

Câu 2

Hệ số của ??+1 trong khai triển (1 + ?)?(?+ 1)? là: ?0

??1

?+ ?1

??2

?+ ?2

??3

?+ … + ??-1

???

?

0,5

Do (1 + ?)?(?+ 1)?= (1 + ?)2?= ∑2?

?=0 ??

2??? nên hệ số của ??+1 là ??+1

2?

0,5

Cân bằng hệ số ??+1 cùng 1 khai triển ta được ?0

??1

?+ ?1

??2

?+ ?2

??3

?+ … + ??-1

???

?= ??+1

2? (ĐPCM) 0,5

Bài 3 4 điểm

Chứng minh rằng ?2

?+ 1 ≤??≤?+1. Ta dùng PP quy nạp toán học. 3 điểm Với n=1 bài toán đúng 0,5 Câu 1

Giả sử bài toán đúng với ?= ?≥1 ta có ?2

?+ 1 ≤??≤?+1 (1) 0,5

DeThi.edu.vn

Ta CM bài toán đúng với ?= ?+1 túc là:

(?+ 1)2

?+ 2 ≤ ??+1 ≤?+2. Thật vậy, do giả thiết ta có: (??+ 1)??+1 = (?+ 1)2

nên ??+1 =

(?+ 1)2

??+ 1 ≥

(?+ 1)2

?+ 2

1,0

Ta lại có ?2

?+ 1 ≤?? do (1)

nên ??+1 =

(?+ 1)2

??+ 1 ≤

(?+ 1)2

?2

?+ 1 + 1 = ?+2 ―

1 ?2 + ?+ 1 ≤?+2.

Bài toán đúng với ?= ?+1.

1,0

1 điểm

Từ trên ta có:

?3

(?+ 1)(?2 + 1) ≤

??? ?2 + 1 ≤

?(?+ 2)

?2 + 1

mà ???

?3

(?+ 1)(?2 + 1) = ???

?(?+ 2)

?2 + 1 = 1

0,5

Câu 2

Do đó,

???

??? ?2 + 1 = 1 0,5

Bài 4 4 điểm Cmr tam giác ABC… 2 điểm

Vai trò 3 cạnh của tam giác bình đẳng, nên ta giả sử ?≥?≥? nên ta có ?≥?≥?. Ta cần CMR góc ?≤60°. 0,5

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có: ?2 = ?2 + ?2 - 2??.

???? Do, 3 cạnh ?;?;? lập thành cấp số nhân nên ?2 = ?? do đó, ??= ?2 + ?2 - 2??.????≥2??(1 ― ????)

1,0

Câu 1

Suy ra ????≥

1 2 = ???60°. Mà ?= ???? nghịch biến trên [0;

? 2] Nên ?≤60° . Bài toán được CM.

0,5

Câu 2 1 điểm Do tam giác ABC nhọn nên nếu tam giác đều thì M là trọng tâm tam giác. Xét phép …