Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi tháng 11 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn (Có đáp án)

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11

NĂM HỌC : 2015 – 2016 Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1. (2.0 điểm) Cho dãy số   n u xác định bởi

 

1

* 1

3

2 1 , 1 1 2

n n

n

u

u u n N u 

           

. Tính 2017 u .

Câu 2. (1.5 điểm) Tìm * n N  thỏa mãn : 1 2 3 2016 1 2 3 ... n P P P nP P       , với nP là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử.

Câu 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :

 

2 2 2

3 2 . 2

3 . 2 4

x y x x y y

x y y x y x y

     

     

Câu 4. (1.5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng   ABC và tam

giác ABC vuông tại B. Biết , 3 AB a AC a   và góc giữa hai mặt phẳng    , SAB SAC

bằng  với 13 sin 19  . Tính độ dài SC theo a.

Câu 5. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có

2 2 CD AB AD   . Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho 3 AB AE  , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết   2;4 E , đường thẳng EF có phương trình

2 8 0 x y   và đỉnh D thuộc đường thẳng 3 8 0 x y   . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. Câu 6. (1.0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 6 a b c   . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức :      

5 9 8 4 3 5 4 3 5 abc ab bc ca Q a b b c c a      

------------------ HẾT ------------------

THÁNG 04 NĂM 2016

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11

THÁNG 04 NĂM 2016

CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM Câu 1

Cho dãy số   n u xác định bởi

 

1

* 1

3

2 1 , 1 1 2

n n

n

u

u u n N u 

           

Tính 2017 u .

Chứng minh được : tan 2 1 8  

Ta được : 1

tan 8

1 .tan 8

n

n

n

u u

u



 

 



Chứng minh bằng qui nạp được   tan 1 3 8 n u n           

Vậy 2017 tan 2016. tan 3 3 8 3 u             

2.0

Câu 2 Tìm * n N  thỏa mãn : 1 2 3 2016 1 2 3 ... n P P P nP P       , với nP là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. Ta có       

* 1 1 ! 1 ! 1 !. 1 1 . k k k P P k k k k k P k N             Áp dụng đẳng thức trên, ta có

2 1 1

3 2 2

4 3 3

1

1

2

3

...................

n n n

P P P

P P P

P P P

P P nP 

 

 

 

 

Suy ra : 1 1 2 3 2016 1 2 3 ... 2015 n n P P P P nP P n        

1.5

Câu 3

Giải hệ phương trình :

  

 2 2 2

3 2 . 2 1

3 . 2 4 2

x y x x y y

x y y x y x y

     

     

DeThi.edu.vn

ĐK : 3 0, 0 x y y y

  

Hệ 2

1 2. . 1 3. 2. 1

1 1 3. 2 1 4. .

x x x y y y y

           

           

Đặt 1

x a y

b y

   

, ta có hệ

 

 

  

2

2

2 1 3 2 1

1 3 2 4 1

2 1 . 1 3 2 2 4

2 1 1 3 2 0

1 2

1 3 2

a b a a

a a ab

a b a a a ab

a b a a

a b

a a

     

    

      

     

     

 2 1 2 1 2 x a b x y y y       thay vào  1 được

      3 2 3 2 2 . 1 2 2 2. 1 1 y y y y y y y y y           

2 2 0 2 2 4. 7. 0 2 7 4

2

8 14 11 11

y y y y

y y y

y

y x o

y x

                              

Thử lại chỉ có     ; 0;2 x y  thỏa mãn



2 1 3 4 1 3 2 1 0

a a a a a x y a

         

Thay vào  1 được   2 2 4 4 x x x y       Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm        ; 0;2 , ; 4;4 x y x y  

1.5

Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng   ABC và tam giác

ABC vuông tại B. Biết , 3 AB a AC a   và góc giữa hai mặt phẳng

   , SAB SAC bằng  với 13 sin 19  . Tính độ dài SC theo a.

DeThi.edu.vn