Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ nhất) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

Trang 1/ 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VÒNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cách giải khác nếu đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm.

NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1 ( 5,0 điểm):

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

Điều kiện . Đặt 0,5

Ta có: 1,0

Thay vào , ta có: 1,0

1,0

. So điều kiện, hệ có nghiệm 0,5

Câu 2 (5,0 điểm):

Cho hàm số ( là tham số thực) có đồ thị . Tìm tất cả các giá trị

của sao cho trên đồ thị tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của tại điểm đó

vuông góc với đường thẳng .

Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0,5

Gọi là hoành độ tiếp điểm thì là nghiệm của phương trình 1,0

Để thỏa yêu cầu bài toán thì có nghiệm duy nhất. 1,0

2 1 (1) . 2 4 2 (2)

x y x y

x y x y

ìï + - + = ïïíï + + + = ïïî

2 0

4 0

x y

x y

ìï + ³ ïíï + ³ ïî

2 ( , 0) 4

u x y u v v x y

ìï = + ïï ³ íï = + ïïî

2 2 2 2

2 2

u v x x u u v

ìï - = - - ïï Þ = íï + = ïïî

2

2

x u - = (1) 2 3 1 2 2 x x y y x - - + = Û =

3 2 y x = (1) 7 1 1 14 2 2 2 x x x x + = Û = -

2

9 77 9 77

9 77

x

x x

x

ìï £ ïïï é ï = + Û Û = - í ê ï ê ïï ê = - ï ë ïî

( ) 3 9 77 2 y Þ = - 27 3 77 9 77; 2

æ ö - ÷ ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø

4 2 2 3 y x mx = + + m ( ) m C

m ( ) m C ( ) m C

8 2018 0 x y - + =

8 -

0 x 0 x 3 2 0 (1) x mx + + =

(1)

DeThi.edu.vn

Trang 2/ 3

Vì không là nghiệm của nên

Xét hàm số: 0,5

Bảng biến thiên

0 1 0

1,0

Từ bảng biến thiên, có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi . Vậy thỏa yêu cầu bài toán. 1,0

Câu 3 (5,0 điểm):

Cho tam giác có ba góc nhọn, không cân và nội tiếp đường tròn . Gọi là chân

đường cao kẻ từ và là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai ( khác ). Gọi là đường kính của . Đường thẳng

cắt các đường thẳng theo thứ tự tại và . Chứng minh .

Ta có mà AI là phân giác góc A nên

. Suy ra tam giác ANA' cân tại A.

1,0

Gọi L là giao điểm của MA và BC.

Ta có . Suy ra, tứ giác ALA'K nội tiếp. Do đó . (1)

1,0

0 x = (1)

2 2 (1) m x x Û = - -

3 2

2 2 2 2 2 2 ( ) ; '( ) 2 x f x x f x x x x x

- + = - - = - + =

x - ¥ + ¥ '( ) f x + + - + ¥ 3 - ( ) f x

- ¥ - ¥ - ¥

(1) 3 m > - 3 m > -

ABC ( ) O H

A I ABC AI ( ) O M M A ' AA ( ) O ' MA

, AH BC N K · 0 90 NIK =

· · · · 0 0 1 90 90 2 OAC AOC ABC BAH = - = - = · · HAI OAI =

· · · · 0 90 ' HKN HNK HAM LAA = - = = '. . . . MA MK ML MA MN MK ML MA = Þ =

DeThi.edu.vn

Trang 3/ 3

Vì hay nên hai tam giác và đồng dạng.

Suy ra . (2)

1,0

Do là các tia phân giác trong của tam giác ABC nên ta có:

và .

Do đó, nên tam giác cân tại . Suy ra, . (3)

1,0

Từ (1), (2), (3) suy ra . 1,0

Câu 4 (5,0 điểm):

Cho là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4.

Ta có: . 0,5

Gọi là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 4.

.

Xét . Nếu thì mỗi giá trị của sẽ có hai giá

trị của sao cho (đó là ). Nếu thì mỗi giá

trị của sẽ có ba giá trị của sao cho (đó là ).

1,0

Gọi ,

.

Khi đó, ta có: .

1,0

Xét tập hợp với . Nếu thì mỗi giá trị của sẽ có hai giá trị

của sao cho . Nếu thì mỗi giá trị của sẽ có ba giá trị của

sao cho .

1,0

Gọi ,

.

Khi đó, ta có: , với .

Suy ra: .

1,0

Gọi biến cố : “Số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4”. Khi đó, xác suất của biến

cố là: . 0,5

…….…HẾT…….…

· · MAC MCB = · · MAC MCL = MCL MAC

2 . ML MA MC =

, IA IC · » ¼ æ ửữ ç = + ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 1 1 2 2 MIC sủ AB sủMC · » ¼ 1 1 2 2 MCI sủ AB sủMB æ ửữ ç = + ÷ ç ÷ ç ÷ è ø · · MIC MCI = MIC M MI MC = · 2 0 . 90 MN MK MI NIK = Þ =

K K

3 9.10 9000 K = =

A

( ) { } : 4 A abcd a b c d = Î + + + ¥ M ( ) 4 0 3 b c d k r r + + = + £ £ { } 0;1;2 r Î r

a ( ) 4 a b c d + + + M 4 , 8 a r a r = - = - 3 r =

r a ( ) 4 a b c d + + + M 1, 5, 9 a a a = = =

{ } = Î £ £ + + = + £ £ ¥ : 0 , , 9, 4 , 0 2 B bcd b c d b c d k r r

{ } = Î £ £ + + = + ¥ : 0 , , 9, 4 3 C bcd b c d b c d k

( )

3 2 3 …