Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh vòng 2 môn Toán Lớp 11 (Buổi thi thứ hai) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Long An

Trang 1/ 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VÒNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 21/9/2018 (Buổi thi thứ hai) Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM Cách giải khác nếu đúng thì giám khảo vẫn cho đủ số điểm.

NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 5 (6,0 điểm):

Cho hàm số thỏa , với

mọi .

a) Chứng minh rằng: “Nếu tồn tại sao cho thì là đơn ánh”.

b) Tìm tất cả các hàm số .

Lấy sao cho .

Thế bởi và thế lần lượt bởi ta được:

1,0

Từ (1), (2), (3) ta được: (vì ).

Vậy là một đơn ánh.

1,0

TH1: Nếu với mọi . Thử lại ta thấy thỏa mãn. 1,0

TH2: Nếu tồn tại sao cho .

Thế vào đề bài ta được: .

Vì là đơn ánh nên ta được: .

1,0

Mặt khác, thế vào đề bài ta được:

. 1,0

Vì nên hay .

Vậy hoặc .

1,0

Câu 6 (7,0 điểm):

Cho dãy số được xác định như sau:

Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 0 f a 

: f ® ¡ ¡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f xf y f f x f y yf x f x f y + + = + +

,x y Î ¡

a Î ¡ ( ) 0 f a ¹ f

f

1 2 , y y Î ¡ ( ) ( ) 1 2 (1) f y f y =

x a y 1 2 , y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 (2) f af y f f a f y y f a f a f y + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (3) f af y f f a f y y f a f a f y + + = + +

( ) ( ) 1 2 1 2 y f a y f a y y = Þ = ( ) 0 f a ¹

f

( ) 0 f x = x Î ¡

a

0, 1 x y = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 f f f f f f f + + = +

f ( ) 0 0 f =

0 y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0. 0 , f xf f f x f f x f x f x + + = + + " Î ¡

( ) 0 0 f = ( ) ( ) ( ), f f x f x x = " Î ¡ ( ) , f x x x = " Î ¡ ( ) 0, f x x = " Î ¡ ( ) , f x x x = " Î ¡

( ) n u

1

1

2020

. 2018 2( 1), 1,2,3,... 2019 2 n n

u

n u u n n +

ìï = ïïïí + ï = + " = ïï + ïî

DeThi.edu.vn

Trang 2/ 3

Ta có: 0,5

Xét hiệu: 1,0

Ta đi chứng minh: ()

Khi , dễ thấy mệnh đề () đúng.

0,5

Giả sử: 0,5

1,0

1,0

1,0

Vậy

Mà bị chặn dưới nên dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

0,5

Gọi .

Ta có:

1,0

Câu 7 (7,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, trong mỗi số đó các chữ số đều lớn hơn 1 và không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau?

Xét trường hợp tổng quát với số tự nhiên có chữ số, với là số nguyên dương. Gọi lần lượt là tập các số tự nhiên có chữ số thỏa yêu cầu đề bài mà chữ số tận

cùng nhỏ hơn 7 và chữ số tận cùng lớn hơn 6.

0,5

Lấy một phần tử thuộc , có một cách thêm vào chữ số cuối cho (thêm vào bên phải

chữ số cuối cùng của ) để được một phần tử của và có 3 cách thêm vào chữ số cuối

cho để được một phần tử của .

0,5

Lấy một phần tử thuộc , có 5 cách thêm vào chữ số cuối cho để được một phần tử

của và có 3 cách thêm vào chữ số cuối cho để được một phần tử của . 0,5

0, 1,2... n u n > " =

1

(2018 2)( 1) (2019 2) 2018 2 2019 2 2019 2

n n n n n

n u n u n nu u u n n +

+ + - + + - - = = + +

2018 2 0 2018 2, 2,3,4,... n n n nu nu n n + - < Û > + " =

1 n =

2018 2, 2,3,4,... k ku k k > + " =

1

2018 2 ( 1) ( 1) ( 1) 2019 2 k k k k u k u k +

+ + = + + +

( ) 1 2018 2 2018 2 2019 2 k k k ku u k k + = + + + +

1 2018 2 2018(2018 2) 2 2018 2 2019 2 ( 1)(2018 2) 1 ( 1)(2018 2) 2019 2 2019 2

k k k k k k k k k k k k k

é ù + + ê ú > + + + + ê ú + ë û æ ö + + + + ÷ ç ÷ = + = ç ÷ ç ÷ ç + è ø

2 2018 2 2018 2018 2020, 2,3,4,... k k k k = + + + > + " =

1 , 2,3,4,... n n u u n + < " =

( ) n u

lim n L u =

2018( 1) 2018 2019 L L L = + Û =

2018

n n , n n A B n

a n A a

a 1 n A + a 1 n B +

b n B b

1 n A + b 1 n B +

DeThi.edu.vn