Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu)

C©u 1:

1)Giải phương trình:

3 3 sin .sin3 cos .cos3 1 8 tan( ) tan( ) 6 3

x x x x

x x      

(1)

2)Giải bất phương trình sau:

 

 

2 2

2 6 3 2 5 3

0 3 2 10

x x x x x

x x

     

   

C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10},..., trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999.

Câu 3 Cho dãy số (un) xác định như sau:

1

2 n 1 n n

u 2012

(n N*) u 2012u u 

      

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim( ... ). u u u u     

Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao

cho 2 3 AP AB;AQ AD. 3 4   I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song

song với AC. Hãy xác định tỉ số IB'

QB'

.

Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 a b c S (ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1)         

.

b) Cho a, b, c 0  và 2 2 2 3 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2 1 1 1

a b c P

b c a      

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

-------------------------------Hết-------------------------------

ĐÁP ÁN THI HSG

Câu Nội dung Điểm Câu 1 §iÒu kiÖn

 

sin .cos 0 6 6 sin 2 0 * 3 6 2 sin .cos 0 3 3

x x

x x m m x x

 

    

                                                

¢

Ta cã tan tan cot .tan 1 6 3 3 3 x x x x                                  

.

Suy ra (1)

    3 3 2 2 1 1 sin sin3 cos cos3 sin sin sin3 cos cos cos3 8 8 x x x x x x x x x x      

    2 2 2 2 2 1 sin cos2 cos4 cos cos2 cos4 sin cos cos2 cos 4 x x x x x x x x x x               

  3 1 1 1 1 cos2 cos2 cos4 cos2 1 cos4 cos 2 cos2 4 4 8 2 x x x x x x x x           

Kết hợp điều kiện (*) ta được   6 x k k     ¢ .

Điều kiện: 3 x  Khi đó ta có:

 

 

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 6 9 9 9

2 18 2 20 2 10

3 2 10 3 2 10 0

x x x x x

x x x

x x x x

       

     

        

Bất phương trình đã cho tương đương với

 

 

       

      



2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

6 3 2 5 3 0

6 3 2 5 3

6 3 2 5 3 6 6 2

6 6 2 2 34 108 0

17 181 34 108

17 181

: 3;17 181 17 181;

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x

x

KL S

      

      

           

         

     

  

          

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Câu 2 Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là

  1 1 2 3 4 ... 2 n n n        . Khi đó Sn là tổng của n số hạng trong một cấp

số cộng có số hạng đầu  

1

1 u 2 n n   , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong

tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có

    2 1 1 1 2 1 1 2 2 n S n u n d n n          .

Vậy   2 999

1.999 999 1 498501999 2 S   

Câu 3 - CM được dãy tăng : 2 n 1 n n u u 2012u 0 n    

- giả sử có giới hạn là a thì : 2 a 2012a a a 0 2012      VL nên limun = 

- ta có :

2 n n n 1 n

n 1 n 1 n n 1 n n n 1

u u (u u ) 1 1 1 ( ) u u u 2012u u 2012 u u



   

    

Vậy : 2 n 1 n 1

1 1 1 1 S .lim( ) 2012 u u 2012      .

DeThi.edu.vn