Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông và ứng dụng tỉ số lượng giác

CHUYÊN ĐỀ 7_HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ ỨNG DỤNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn Xét α là góc nhọn trong một tam giác vuông.

Khi đó ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn α là

sin ,cos ,tan ,cot α α α α được định nghĩa như sau:

sin ;cos ;tan ;cot AB AC AB AC BC BC AC AB α α α α = = = =

Chú ý: Nếu α là một góc nhọn thì 0 sin 1;0 cos 1; α α < < < < tan 0;cot 0 α α > >

Nhận xét: Khi góc α tăng từ 0 0 đến 0 90 thì sinα và tanα tăng, cosα và cotα giảm

Tức là: 0 0 0 90 sin sin ,cos cos ,tan tan ,cot cot α β α β α β α β α β < < < ⇒ < > < >

2. Mỗi liên hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau

Với hai góc , α β mà 0 90 α β + = ,

ta có: sin cos ;cos sin ;tan cot ;cot tan α β α β α β α β = = = = .

Nếu hai góc nhọn α và β có sin sin α β = hoặc cos cos α β = thì α β = .

3. Công thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc nhọn α

Xét α là góc nhọn khi đó ta có:

+ sin cos tan ; cot ; cos sin α α α α α α = = 2 2 sin cos 1; .cot 1 tg g α α α α + = = .

+ Công thức mở rộng : 2 2 1 1 tan cos α α + = và 2 2 1 1 cot sin α α + =

4. Với một số góc đặc biệt ta có:

0 0 0 0 1 2 sin30 cos60 ;sin 45 cos45 2 2 = = = =

0 0 0 0 3 1 cos30 sin 60 ;cot 60 tan30 2 3 = = = = 0 0 0 0 tan 45 cot 45 1;cot30 tan 60 3 = = = = .

5. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Từ công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta chỉ ra được hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông như sau:

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề.

• Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề. .sin cos ; .sin .cos ; .tan .cot ; b a B a C c a C a B b c B c C = = = = = =

.tan .cot c b C b C = =

α

Cạnh đối Cạnh huyền

Cạnh kề C

B

A

c

a

b

C B

A

Chú ý: Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Cho ABC ∆ có  0 90 A = , đường cao AH

a. Cho  0 30 C = , 4 AH cm = . Tính AB , AC

b. Cho  0 30 HAB = , 3 AB cm = . Tính AC , BC

Câu 2: Cho ABC ∆ , có  0 90 A = , cho  4. 5 SinB = 9 . AB cm = Tính , AC BC

Câu 3: Cho ABC ∆ có  0 90 A = ,  3 4 tanC = và 20 . BC cm = Tính , AB AC

Câu 4: Cho ABC ∆ có  0 30 A = 8 , 6 . AB cm AC cm = = Tính ABC S

Câu 5: Cho ABC ∆

vuông tại A ,  0 30 C = , kẻ phân giác BD, sao cho 8 CD cm = . Tính. , , AC AB BC

Câu 6: Cho ABC ∆ vuông tại A . Góc B bằng 0 30 , 10 BC cm = . Hãy tính cạnh AB và góc C

Câu 7: Cho ABC ∆ vuông tại A . Góc B bằng α , biết 3 tan 4 α = , 8 AB cm = . Hãy tính cạnh AC và

BC

Câu 8: Cho ABC ∆ , biết 24 , 32 , AB cm AC cm = = 40 BC cm = . Chứng minh tam giác ABC vuông và

tính sin ,sin ,cos ,cos B C B C

Câu 9: Cho ABC ∆ , biết 21, 28, 35 AB AC BC = = =

a) Chứng minh rằng ABC ∆ vuông

b) Tính sin ,sin B C , góc B , góc C và đường cao AH trong ABC ∆

Câu 10: Cho ABC ∆ vuông tại A , có đường cao AH . TÍnh tỉ số lượng giác của góc C , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc B , biết: a) 16 , 12 AB cm AC cm = =

b) 13 , 5 AC cm CH cm = =

c) 3 , 4 CH cm BH cm = =

Câu 11: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A , biết

a) 18, 8 a b = =

b) 20, b =  0 38 C =

c) 3 tan , 4 4 B c = =

Câu 12: Cho tam giác ABC có 16 , 14 AB cm AC cm = = và  0 60 B = . Tính độ dài cạnh BC và diện tích

tam giác ABC

Câu 13: Cho tam giác ABC có   0 0 18 , 150 B C = = , 8 AC cm = . Tính độ dài cạnh AB và BC .