Chuyên đề nguyên hàm và tích phân từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ IV– NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI. NGUYÊN HÀM

1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: Cho hàm số ( ) f x xác định trên một khoảng K (hoặc một

đoạn hoặc một nửa khoảng). Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K

nếu ( ) ( ) F x f x ′ = với mọi x thuộc K .

Giả sử hàm số ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C , hàm số ( ) F x C + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K ;

b) Nếu hàm số ( ) G x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho

( ) ( ) G x F x C = + với mọi x K ∈ .

Như vậy, nếu ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số

( ) f x trên K đều có dạng ( ) F x C + . Ta gọi ( ) F x C + là họ các nguyên hàm của ( ) f x trên

K ký hiệu bởi ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ .

Chú ý: a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số ( ) f x trên K , ta chỉ cần

tìm một nguyên hàm ( ) F x của ( ) f x trên K và khi đó ( ) ( ) d f x x F x C = + ∫ , C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số ( ) f x liên tục trên khoảng K thì ( ) f x có

nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức ( )d f x x gọi là vi phân của nguyên hàm ( ) F x , kí hiệu là ( ) dF x . Vậy

( ) ( ) ( ) d d d F x F x x f x x = ′ = .

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

CHƯƠNG

IV

NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ IV– NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM.

Cho ( ) ( ) , f x g x là hai hàm số liên tục trên K . Khi đó:

a) ( )d ( )d kf x x k f x x = ∫ ∫ với mọi số thực k khác 0.

Suy ra [ ] . ( ) . ( ) d ( )d ( )d k f x l g x x k f x x l g x x + = + ∫ ∫ ∫

b) [ ] ( ) ( ) d ( )d ( )d f x g x x f x x g x x ± = ± ∫ ∫ ∫ .

3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số y x α = , với α∈, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x α = tùy thuộc vào giá trị của α . Cụ thể:

+) Với α nguyên dương, tập xác định là .

+) Với α nguyên âm hoặc 0 α = , tập xác định là { } * \ 0 =  .

+) Với α không nguyên, tập xác định là ( ) 0;+∞.

+) Hàm số lũy thừa y x α = (với α∈) có đạo hàm tại mọi điểm 0 x > và ( ) 1 . x x α α− ′ = α .

Từ đó ta có: ( )

1 d 1 1 x x x C

α α α α

+ = + ≠− + ∫ ; ( ) d ln 0 x x C x x = + ≠ ∫

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

cos d sin x x x C = + ∫

sin d cos x x x C = − + ∫

2 1 d tan cos x x C x = + ∫ Với 2 x k π π ≠ +

2 1 d cot sin x x C x = − + ∫ Với x kπ ≠

c) Nguyên hàm của hàm số mũ:

d x x e x e C = + ∫

( ) d 0 1 ln

x x a a x C a a = + < ≠ ∫

Câu 1: Xác định nguyên hàm của các hàm số sau:

1) ( ) 2 1 e x f x − =

2) ( ) 2 sin 6 f x x x = −

3) 2 1 ( ) 3 f x x x x = − −

4) ( ) 4 sin f x x x = +

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II

CHUYÊN ĐỀ IV– NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

5) ( ) 2 2 1 x f x e x x = + −+

6) ( ) 2 1 cos sin f x x x = −

7) ( ) 3 4 2 1 f x x x = + +

8) ( ) 2 cos x f x x = +

9) ( ) cos 1 f x x = +

10) ( ) 2x f x x = +

11) ( ) 1 5x f x x = +

12) ( ) 2 cos f x x x = −

13) ( ) 1 3 .5 x x f x + =

14) ( )

5 7 f x x =

15) ( ) 5 2 1

x x e f x e x

−   = −    

Câu 2: Cho hàm số ( ) 2 sin 1 f x x x = + + biết ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x và ( ) 0 1 F =

. Khi đó, tìm ( ) F x .

Câu 3: Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn ( ) 4 3sin f x x ′ = − và ( ) 0 5 f = . Tìm hàm số ( ) f x

Câu 4: Cho hàm số ( ) 2 x f x x e− = + . Tìm một nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x thỏa mãn

( ) 0 2023 F =

Câu 5: Cho ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 x f x e x = + thỏa mãn ( ) 0 2 F = . Tìm ( ) F x .

Câu 6: Cho hàm số ( ) 2 sin 1 f x x x = + + . Biết ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x và ( ) 0 1 F = . Tìm

( ) F x .

Câu 7: Ký hiệu ( ) h x là chiều cao của một cây ( tính theo m) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau một

năm đầu tiên cây cao 2,5m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ ( ) 1 h x x ′ = …