Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2024 -2025

MÔN: TOÁN 7 Ngày khảo sát: 22/03/2025 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức

1)

2 2 1 1 0,4 0,25 13 9 11 3 5 7 7 1 17 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

A

  − + − +   = − +     − + − +  

2)

20 20

40 4 .25 9 17 9 6 10 11 23 11 23 B − = + ⋅ − ⋅

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Tìm x , biết: 15 2 6 2 3 4 10 23 23 23 x x x x + + + + + =

2) Cho ( ) 2 4 6 2 ( 1) ( 2) 0 x y x y z + + − + + − + = .

Tính giá trị của : A = (x + 1)2024 + y2025 + z2026 3) Ba câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh của khối 7 một trường THCS có 66 học sinh. Nếu câu lạc bộ Toán thêm 5 học sinh, câu lạc bộ Ngữ văn bớt đi 1 học sinh, câu lạc bộ Tiếng Anh thêm vào 2 học sinh thì số học sinh mỗi câu lạc bộ đó lần lượt tỉ lệ nghịch với 2;3;2. Tìm số học sinh của mỗi câu lạc bộ? Câu 3. (2 điểm)

1) Tìm cặp số nguyên x, y thoả mãn: 3xy + 6x – 5y = 17 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn 10p 1 + cũng là số nguyên tố. Chứng

minh rằng 5p 1 + chia hết cho 6

Câu 4. (2,5 điểm)

1) Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm của BC, Lấy D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD = MA.

a. Chứng minh CD // AB b. Kẻ AH ⊥ BC (H thuộc BC), MN ⊥ BD (N thuộc BD), CK ⊥ AD (K thuộc AD). Chứng minh các đường thẳng CK, AH, MN đồng quy.

2) Cho tam giác ABC có  45o B = ,  120o C = . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho

CD = 2CB. Tính  ADB .

Câu 5. (1 điểm)

1) Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

2) Cho

2

2 3 8 15 1 ... 4 9 16 n n S n − = + + + + ( với n N ∈ và 1 n > ).

Chứng minh rằng n S không thể là một số nguyên.

-------------------Hết---------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Năm học: 2024-2025

MÔN: TOÁN 7 Câu Ý Đáp án Điểm

Câu 1 (1,5 điểm)

1

(0,75 điểm)

2 2 1 1 0,4 0,25 13 9 11 3 5 7 7 1 17 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

  − + − +   − +     − + − +  

2 2 2 1 1 1 13 5 9 11 3 4 5 7 7 7 7 7 7 17 5 9 11 6 8 10

1 1 1 1 1 1 2 13 5 9 11 3 4 5 1 1 1 7 1 1 1 17 7 5 9 11 2 3 4 5

2 2 13 13 7 7 17 17

  − + − +   = − +     − + − +       − + − +         = − +       − + − +               = − + =    

0,25

0,25

0,25 2

(0,75 điểm)

20 20

40

40 40

40

40

40

4 .25 9 17 9 6 10 11 23 11 23 2 .5 9 17 6 10 11 23 23

10 9 .1 10 11 20 11

B

B

B

B

− = + ⋅ − ⋅

  = + +    

= +

=

0,25

0,25

0,25

Câu 2 (3 điểm)

1

(1 điểm)

15 2 6 2 3 4 10 23 23 23 x x x x + + + + + = (1)

Ta có 15 2 6 2 0; 3 0; 4 0 23 23 23 x x x + ≥ + ≥ + ≥

Nên để (1) xảy ra thì 10x 0 ≥, tức là x 0 ≥

Khi đó 15 2 6 2 0; 3 0; 4 0 23 23 23 x x x + ≥ + ≥ + ≥

Do đó 15 2 6 2 3 4 10 23 23 23 x x x x + + + + + =

9x + 1 = 10x x = 1 Vậy x = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

2

(1 điểm)

Ta có: ( ) 2 4 6 2 0 ; ( 1) 0 ; ( 2) 0 , , x x y y x y z x y z + ≥ ∀ − ≥ ∀ + − + ≥ ∀

Do đó ( ) 2 4 6 2 ( 1) ( 2) 0 x y x y z + + − + + − + ≥

Nên ( ) 2 4 6 2 ( 1) ( 2) 0 x y x y z + + − + + − + =

khi

2 0 2 1 0 1 2 0 1

x x y hay y x y z z

+ = = −     −= =     + − + = =  

Khi đó A = (x + 1)2024 + y2025 + z2026 = (-2 + 1)2024 + 12025 + 12026 = 3 Vậy A = 3

0,25 0,25

0,25

0,25

3

(1 điểm)

Gọi số học sinh của mỗi câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh lần lượt là a, b, c (a,b,c∈N*) nên a + b + c = 66 Vì nếu câu lạc bộ Toán thêm 5 học sinh, câu lạc bộ Ngữ văn bớt đi 1 học sinh, câu lạc bộ Tiếng Anh thêm 2 học sinh thì số học sinh trong mỗi câu lạc bộ lần lượt tỉ lệ nghịch với 2; 3; 2 nên ta có: 2(a + 5) = 3(b – 1) = 2(c + 2)

Suy ra: 5 1 2 3 2 3 a b c + − + = =

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

5 1 2 6 72 9 3 2 3 8 8 a b c a b c + − + + + + = = = = =

Suy ra : a = 22, b = 19, c = 25 Vậy số học sinh của mỗi câu lạc bộ Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh lần lượt là 22 học sinh, 19 học sinh, 25 học sinh.

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3 (2 điểm)

1

(1 …