Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1. (1,0 điểm)

1) 4

12 12 12 5 5 5 12 5 10 7 289 85 13 169 91 81. : . 4 4 4 6 6 6 3 4 6 7 289 85 13 169 91

B

  − − − + + +   =     − − − + + +  

2) 1 31 1 17 1 1 1 1 1 9 4 ... 31 5 2 2 5 2 6 12 930 A         = − − + + + + + +                

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Với 0 x ≥ và ,x y thỏa mãn

2025 2 8 81 3 1 0 x y − + + =

2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Câu 3. (3,0 điểm)

1) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2024 2025 1 2

2 3 2025 1 ... a a a a a a a a = = = = (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

Tính giá trị biểu thức ( )

2 1 2 2025 2 2 2 2 1 2 3 2025

...

...

a a a B a a a a

+ + + = + + + + .

2) Cho đa thức bậc hai: ( ) 2 A x ax bx c = + + ( x là ẩn; , , a b c là hệ số)

a) Tìm , , a b c biết rằng: ( ) ( ) ( ) 0 2024; 1 2025; 1 2027 A A A = = − =

b) Cho đa thức ( ) 3 2 1 B x x = − −

Tìm đa thức ( ) C x , biết rằng: ( ) ( ) ( ) 5 4 2 . 4 2 2 A x B x C x x x x − = − + − . 3) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7” b) B: “Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9”. Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho 1 2 CD CB < .

Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho . BE CD = Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F. a) Chứng minh rằng: . CK BF = b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I . Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng FK và // EK FD. c) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với FK cắt đường cao AH của ABC ∆ ( ) H BC ∈

tại O. Chứng minh: AH > AB – OH. Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( ) ( ) 2010 2020 2030 7 5 2 3 2 0 202 0 5 0 M x y z x xy yz zx = − + + + − + + −

--- HẾT ---

(Lưu ý: học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điể

m

1 (1,0đ )

1 (0,5đ )

4

12 12 12 5 5 5 12 5 10 7 289 85 13 169 91 81. : . 4 4 4 6 6 6 3 4 6 7 289 85 13 169 91

B

  − − − + + +   =     − − − + + +  

4

1 1 1 1 1 1 12. 1 5. 1 10 7 289 85 13 169 91 81. : . 1 1 1 1 1 1 3 4. 1 6. 1 7 289 85 13 169 91

B

      − − − + + +             =       − − − + + +            

0,25

12 5 10 81. : . 36 4 6 81 B   = =    

0,25

2 (0,5đ )

1 31 1 17 1 9 4 31 5 2 2 5

1 31 17 17 21 . . 31 5 2 2 5

17 31 21 17 31 10 31

Xet M       = − − +               = −     −   = =    

1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 6 12 930 2 2.3 3.4 30.31 Xet N   = + + + + = + + + +    

1 1 1 1 1 1 1 1 30 ... 1 2 2 3 3 4 30 31 31 31   = + − + − + + − = − =    

0,25

17 30 47 31 31 31 A M N = + = + = 0,25

2 (2,0đ )

1 (1,0đ )

Ta có: 2 8 81 0 x − ≥ với mọi x;

2025 3 1 0 y + ≥ với mọi y

Nên để

2025 2 8 81 3 1 0 x y − + + =

Thì 2 81 0 x − = và

2025 1 0 y + =

0,25

Giải ra 9 x = ± và y = -1 0,5 Đối chiếu điều kiện 0 x ≥ , loại x = -9 Vậy x = 9 và y = -1 0,25

2 (1,0đ )

Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 < n < 100 18 2n 200 ⇒ < < 0,25

Mà 2n là số chính phương chẵn ⇒2n { } 36;64;100;144;196 ∈ 0,25 { } n 18;32;50;72;98 ⇒ ∈ 0,25 Mà n + 4 là số chính phương => n = 32. Vậy n = 32 0,25 3 1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :