Viết nhanh phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số bậc 3 - Phùng Quyết Thắng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA

HÀM SỐ BẬC 3

PHƯƠNG PHÁP P.Q.T

Một phương pháp mới mang tính ưu việt hơn các phương pháp trước đó.

Kết quả rõ ràng mang tính trực quan cao!

HÀ NỘI, THÁNG 9 NĂM 2016

TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN

THS.PHÙNG QUYẾT THẮNG

Gv: Ths. Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172. Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN

TRUNG TÂM KỸNĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN

1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

CỦA HÀM SỐ BẬC 3

PHƯƠNG PHÁP PHÙNG QUYẾT THẮNG

I. Đặt vấn đề:

Xét hàm số ݕ= ݂(ݔ) liên tục và khả vi trên tập xác định của nó. Nếu f(x) được phân tích thành

݂(ݔ) = ℎ(ݔ). ݂′(ݔ) + ݃(ݔ) thì g(x) chính là phương trình đi qua điểm cực trị của hàm số f(x).

Thật vậy: giả sử f(x) tồn tại các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ là xCĐ, xCT thì

݂′(ݔܥĐ) = ݂′(ݔܥ்) = 0 (1)

Khi đó, thay xCĐ, xCT vào f(x) và kết hợp với (1), ta được:

݂(ݔ஼Đ) = ℎ(ݔ஼Đ). ݂′(ݔ஼Đ) ᇣᇧᇤᇧᇥ

0

+ ݃(ݔ஼Đ) = ݃(ݔ஼Đ) (2)

݂(ݔ஼்) = ℎ(ݔ஼்). ݂′(ݔ஼்) ᇣᇧᇤᇧᇥ

0

+ ݃(ݔ஼்) = ݃(ݔ஼்) (3)

݃(ݔ) = ቆ2ܿ

3 −2ܾଶ

9ܽቇ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ா

ݔ+ ݀−ܾܿ

9ܽ ᇣᇧᇤᇧᇥ

ி

(4)

ℎ(ݔ) = ݔ

3 + ܾ

9ܽ (5)

Những phương pháp tìm nhanh hàm g(x) đều xoay quanh phép chia đa thức ݕ/ݕ′ điển hình là

phương pháp lập bảng hệ số chia bậc 2, phương pháp chia bằng máy tính Fx570 với phép gán x = 1000

(một dạng biến thể của khai triển đa thức của tác giả Bùi Thế Việt).

Gần đây, tác giả Hoàng Trọng Tấn có chia sẻ thêm một cách tìm hàm g(x) bằng thuật toán truy hồi

như sau:

݃(ݔ) = 1 9ܽ(ܧݔ+ ܨ) ݐݎ݋݊݃ đó: ൜ܨ= ܶ(0) ܧ= ܶ(1) −ܶ(0) ݒớ݅ ܶ(ݔ) = 9ܽ. ݕ−ݕᇱ. ݕ′′ 2

Từ (2), (3) suy ra g(x) là phương trình đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số (đpcm). Bằng

cách thực hiện phép chia đa thức ݕ/ݕ′ ta tìm được thương ℎ(ݔ) và phần dư ݃(ݔ). Đây chính là cách

làm phổ biến hiện nay.

Áp dụng cho hàm bậc 3 ݕ= ݂(ݔ) = ܽݔଷ+ ܾݔଶ+ ܿݔ+ ݀ ݒớ݅ ܽ≠0 thì ݕᇱ= ݂ᇱ(ݔ) = 3ܽݔଶ+

2ܾݔ+ ܿ. Khi đó, g(x) và h(x) đều có dạng là hàm số bậc nhất:

Gv: Ths. Phùng Quyết Thắng Tel: 0903259172. Face: L Toan KN Page: KỸ NĂNG LÀM TOÁN

TRUNG TÂM KỸNĂNG LÀM TOÁN Nhận luyện thi theo nhóm, lớp khu vực Hà Nội Ngõ 102, đường Trường Chinh, Đống Đa, HN

2

Cái hay của phương pháp này ở chỗ hàm g(x) được tìm bằng biểu thức ݂(ݔ) −ℎ(ݔ). ݂′(ݔ). Đây là cơ

sở quan trọng trong phương pháp PQT tôi muốn giới thiệu ở phần sau.

Phương pháp HTT kết hợp với máy tính Fx570 cho kết quả nhanh hơn các phương pháp chia đa

thức hiện nay và có thể áp dụng với bài toán chứa tham số. Đây là phương pháp có tính đột phá cao;

tuy nhiên hướng giải quyết chưa phải là phương án tối ưu nhất.

Chính vì vậy, tôi xin đề xuất một phương pháp mới có tính ưu việt hơn để giải quyết bài toán

này. Bởi nó giải quyết được 2 vấn đề quan trọng, đó là:

1. Tìm được mối quan hệ giữa hàm g(x) và các đạo hàm của f(x) nên dạng biểu thức đơn giản

hơn, dễ nhớ và dễ áp dụng. Mối quan hệ đó là: ݃(ݔ) = ݕ− ௬ᇲ.௬ᇱᇱ

ଷ.௬ᇱᇱᇱ

2. Sử dụng bài toán tính giá trị biểu thức, chỉ cần một phép gán ݔ = ݅ cho luôn chính xác kết

quả phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT cần tìm. Với bài toán chứa tham số, bài toán

này cho kết quả vẫn trực quan và tốc độ xử lý nhanh nhưng phải thêm bước biên dịch lại kết quả.

Từ cơ sở trong phần đặt vấn đề, hàm g(x) luôn là phương trình đi qua điểm cực đại, cực tiểu của

hàm ݂(ݔ) nên ݃(ݔ) hoàn toàn có thể được biểu diễn qua biểu thức ݂(ݔ) −ℎ(ݔ). ݂′(ݔ). Áp dụng cho

hàm đa thức bậc 3, ta có:

݂(ݔ) −൬ݔ

3 + ܾ

9ܽ൰݂′(ݔ) (3)

Ở đây hàm g(x) có dạng bậc nhất nên biểu thức (3) cũng sẽ có dạng bậc nhất . Do đó, ta có thể

biểu diễn hàm g(x) tương tự dạng đại số của số phức. Đây chính là cơ sở cho phép ta ứng dụng số phức

vào biểu thức (3) thông qua phép gán ݔ= ݅ .

2. Xây dựng công thức

Từ hàm số ݕ= ݂(ݔ) = ܽݔଷ+ ܾݔଶ+ ܿݔ+ ݀ với ܽ≠0, ta dễ dàng tìm được:

ቐ ݕᇱ= ݂ᇱ(ݔ) = 3ܽݔଶ+ 2ܾݔ+ ܥ ݕᇱᇱ= ݂"(ݔ) = 6ܽݔ+ 2ܾ ݕᇱᇱᇱ= ݂ᇱᇱᇱ(ݔ) = 6ܽ

Biểu thức (3) hoàn toàn có thể áp dụng vào tính toán. Tuy nhiên, hàm ℎ(ݔ) của bậc 3 có một tính

chất thật vi diệu. Một chút nhạy cảm trong lúc băn khoăn làm thế …