Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm cực trị hàm số

Trang 1/38

CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x  xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b và điểm 0 ( ; ) x a b  .

+ Nếu tồn tại số 0 h  sao cho 0 ( ) ( ) f x f x  với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h    và 0 x x  thì ta nói hàm số ( ) f x

đạt cực đại tại 0 x .

+ Nếu tồn tại số 0 h  sao cho 0 ( ) ( ) f x f x  với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h    và 0 x x  thì ta nói hàm số ( ) f x

đạt cực tiểu tại 0 x .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số ( ) y f x  liên tục trên 0 0 ( ; ) K x h x h    và có đạo

hàm trên K hoặc trên 0 \ { } K x , với 0 h  .

+ Nếu '( ) 0 f x  trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x  và '( ) 0 f x  trên 0 0 ( ; ) x x h  thì 0 x là một điểm cực đại của hàm

số ( ) f x .

+ Nếu '( ) 0 f x  trên khoảng 0 0 ( ; ) x h x  và ( ) 0 f x   trên 0 0 ( ; ) x x h  thì 0 x là một điểm cực tiểu của

hàm số ( ) f x .

Minh họa bằng bảng biến thiến

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính ( ) f x  . Tìm các điểm tại đó ( ) f x  bằng 0 hoặc ( ) f x  không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính ( ) f x  . Giải phương trình ( ) f x  và ký hiệu ix ( 1,2,3,...) i  là các nghiệm.

Bước 3. Tính ( ) f x  và ( ) i f x  .

Bước 4. Dựa vào dấu của ( ) i f x  suy ra tính chất cực trị của điểm ix .

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d     ( 0 a  ).

Ta có 2 3 2 y ax bx c   

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình 0 y có hai nghiệm phân biệt 2 3 0 b ac    .

Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: . 18 y y y a

  (CASIO hỗ trợ).

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: 4 2 y ax bx c    ( 0 a  ) có đồ thị là ( ) C .

Ta có 3

2

0 4 2 ; 0

2

x y ax bx y b x a

          

( ) C có ba điểm cực trị 0 y có 3 nghiệm phân biệt 0 2 b a  

x 0x h − 0x 0x h + x 0x h − 0x 0x h + ( ) f x ′ + − ( ) f x ′ − +

( ) f x

CÑ f

( ) f x

Cf

Trang 2/38

Hàm số có 3 cực trị là: (0; ), ; , ; 2 4 2 4 b b A c B C a a a a

                                 

.

Độ dài các đoạn thẳng:

4

2 , 2 2 2 16 b b b AB AC BC a a a      .

CÔNG THỨC TÍNH NHANH Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện STT Dữ kiện Công thức thỏa 0 ab  1 Tam giác ABC vuông cân tại A 3 8 0 a b   2 Tam giác ABC đều 3 24 0 a b  

3 Tam giác ABC có góc  BAC   3 8 tan 2 a b 

4 Tam giác ABC có diện tích 0 ABC S S   3 2 5 0 32 ( ) 0 a S b  

5 Tam giác ABC có diện tích 0 ( ) max S

5

0 3 32 b S a  

6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp 0 ABC r r  

2

0 3 1 1

b r b a a

             

7 Tam giác ABC có độ dài cạnh 0 BC m  2 0 . 2 0 a m b  

8 Tam giác ABC có độ dài 0 AB AC n   2 2 4 0 16 8 0 a n b ab   

9 Tam giác ABC có cực trị , B C Ox  2 4 0 b ac   10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn 3 (8 ) 0 b a b   11 Tam giác ABC có trọng tâm O 2 6 0 b ac   12 Tam giác ABC có trực tâm O 3 8 4 0 b a ac   

13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 0 ABC R R  

3 8 8 b a R ab  

14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi 2 2 0 b ac   15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3 8 4 0 b a abc    16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3 8 8 0 b a abc    17 Tam giác ABC có cạnh . . BC k AB k AC   3 2 2 . 8 ( 4) 0 b k a k   

18 Trục hoành chia ABC  thành hai phần có diện tích bằng nhau 2 4 2 b ac 

19 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 8 0 b ac  

20 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC  là: 2 2 2 2 0 4 4 x y c y c b a b a

                                