Tìm cực trị của hàm số hợp f(u(x)) khi biết đồ thị hàm số f(x)

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 658

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Đạo hàm của hàm số hợp:

      .               g x f u x g x u x f u x .

 





0 0

0

            

u x g x f u x

 Lập bảng biến thiên của hàm số   y f x khi biết đồ thị hàm số    y f x

B1. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số    y f x với trục hoành

B2: Xét dấu của hàm số    y f x , ta làm như sau

- Phần đồ thị của  f x  nằm bên trên trục hoành trong khoảng   ;a b thì  0   f x ,   ; x a b 

- Phần đồ thị của  f x  nằm bên dưới trục hoành trong khoảng   ;a b thì  0 f x   ,   ; x a b 

 Lập bảng biến thiên của hàm số    g x f x u x   khi biết đồ thị hàm số    y f x

B1: Đạo hàm    g x f x u x      . Cho    0 g x f x u x      

B2. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số    y f x và đồ thị hàm số  y u x  

B3: Xét dấu của hàm số  y g x   , ta làm như sau

- Phần đồ thị của  f x  nằm bên trên đồ thị  u x   trong khoảng   ;a b thì  0 g x   ,   ; x a b 

- Phần đồ thị của  f x  nằm bên dưới đồ thị  u x   trong khoảng   ;a b thì  0 g x   ,   ; x a b 

BÀI TẬP MẪU

Cho hàm số bậc bốn ( ) y f x  có đồ thị như hình bên

Số điểm cực trị của hàm số   3 2 ( ) 3 g x f x x   là

A. 5. B. 3 C. 7 . D. 11.

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP f (u (x)) KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f (x)

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 659

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm số cực trị của hàm hợp    f u x khi biết đồ thị hàm số  f x .

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Đạo hàm của hàm hợp:

     . f u x u x f u        

 Định lí về cực trị của hàm số:

Cho hàm số  y f x  xác định trên D .

Điểm 0x D  là điểm cực trị của hàm số  y f x  khi   0 0 f x   hoặc   0 f x  không xác định và

 f x  đổi dấu khi đi qua 0x .

 Sự tương giao của hai đồ thị:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số  y f x  và  y g x  là nghiệm của phương trình

  1 f x g x 

Số nghiệm của phương trình  1 bằng số giao điểm của hai cực trị.

 Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x   là một nghiệm của phương trình:  0 f x  . Khi đó

Nếu x   là nghiệm bội bậc chẳn (   2 4 , ,... x x     ) thì hàm số  y f x  không đổi

dấu khi đi qua .

Nếu x   là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ (   3 , ,... x x     )thì hàm số

 y f x  đổi dấu khi đi qua .

3. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính đạo hàm của hàm số:   3 2 ( ) 3 g x f x x  

B2: Dựa vào đồ thị của hàm  f x ta suy ra số nghiệm của phương trình : ( ) 0 g x  

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số   3 2 ( ) 3 g x f x x   và suy ra số cực trị.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn B

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Trang 660

c

b

a

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của ( ) y f x  như sau:

         3 2 3 2 3 2 3 2 2 ( ) 3 ( ) 3 3 3 6 3 g x f x x g x x x f x x x x f x x             

      

 



3 2 3 2 3 2 3 2

3 2

2

2

2

0 3 6 0 3 0 1 ( ) 0 3 6 3 0

0 3 3

3

; 2

4

0 4

3

x

x x x x x g x x x f x x f x x x x

x x

a

b

c

                                

 



 





Xét hàm số 3 2 ( ) 3 h x x x   2 ( ) 3 6 h x x x    0 ( ) 0 2 x h x x

     

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy

Đường thẳng y a  cắt đồ thị hàm số ( ) y h x  tại 1 điểm

Đường thẳng y b  cắt đồ thị hàm số ( ) y h x  tại 3 điểm.

Đường thẳng y c  cắt đồ thị hàm số ( ) y h x  tại 1 điểm.

Như vậy, phương trình ( ) 0 g x   có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số   3 2 ( ) 3 g x f x x   có 7 cực trị.