Bài tập tính đơn điệu của hàm số - Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ VẼ ĐỒ THI HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa:

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số f xác định trên K được gọi là :

Hàm số   y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

   1 1 1 2 2 2 . , , x x x K x x f x f     

Khi đó, đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

   2 1 2 1 2 1 , , x x K x x f x f x     

Khi đó, đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Hình ảnh minh họa sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi

   1 1 1 2 2 2 . , , x x x K x x f x f     

Nghịch biến (giảm) trên K nếu với

   2 1 2 1 2 1 , , x x K x x f x f x      .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì  ' 0  f x với mọi  x I

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì  ' 0  f x với mọi  x I

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 3.1. Định lý :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ). Khi đó

Nếu  ' 0  f x với mọi  x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

Nếu  ' 0  f x với mọi  x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

Nếu  ' 0  f x với mọi  x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

Chú ý :

§BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Nếu hàm số f liên tục trên   ;a b và có đạo hàm  ' 0  f x trên khoảng   ;a b thì hàm số f

đồng biến trên   ;a b

Nếu hàm số f liên tục trên   ;a b và có đạo hàm  ' 0  f x trên khoảng   ;a b thì hàm số f

nghịch biến trên   ;a b .

3.2. Hệ quả. ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Nếu '( ) 0  f x với  x I ( hoặc '( ) 0  f x với  x I ) và '( ) 0  f x tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình.

 Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc  ( ) ( ) P x f x Q x (trong đó

 P x là đa thức bậc hai ,  Q x là đa thức bậc nhất và  P x không chia hết cho  Q x

thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K , '( ) 0 ( '( ) 0)    x K f x f x .

 Nếu hàm số f là hàm nhất biến ( )    ax b f x cx d với , , , a b c d là các số thực và 0 ad bc  

thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K , '( ) 0( '( ) 0).    x K f x f x

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp . Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số .f

Bước 2. Tính đạo hàm ( ) f x và tìm các điểm 0x sao cho 0 ( ) f x = 0 hoặc 0 ( ) f x không xác định . Bước 3. Lập bảng xét dấu ( ) f x , dựa vào định lí 1, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

2. Bài tập minh họa . Bài tập 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

1). 3 2 4 2 3 3     y x x x 2).

3 2 6 9 3     y x x x

Lời giải. ....................................................................................................... .................................................................................................

....................................................................................................... .................................................................................................

....................................................................................................... .................................................................................................

....................................................................................................... …