Chuyên đề bất đẳng thức

1

Chuyên ñề: BẤT ðẲNG THỨC A.MỤC TIÊU: 1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức. 2-Một số phương pháp và bài toán liên quan ñến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau. 3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất ñẳng thức. B- NỘI DUNG PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1- ðịnh nghĩa 2- Tính chất 3-Một số hằng bất ñẳng thức hay dùng Phần 2:một số ph−ơng ph¸pchøng minh bÊt®¼ng thức 1-Ph−ơng pháp dùng định nghĩa 2- Ph−ơng pháp dùng biến đổi t−ơng đ−ơng 3- Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Ph−ơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Ph−ơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Ph−ơng pháp làm trội 7- Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- Ph−ơng pháp đổi biến số 9- Ph−ơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Ph−ơng pháp quy nạp 11- Ph−ơng pháp phản chứng Phần 3 :các bài tập nâng cao PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Phần I : các kiến thức cần l−u ý

2

1-§inhnghÜa

0

0

A B A B

A B A B

≥ ⇔ − ≥   ≤ ⇔ − ≤ 

2-tính chất + A>B A B < ⇔ + A>B và B >C C A > ⇔ + A>B ⇒A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n n ∀ + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n

+A < B và A.B > 0 ⇒ B A

1 1 >

3-một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0 ≥ A với A ∀ (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A < A + A B A B + ≥ + ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + B A B A − ≤ − ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) Phần II : một số ph−ơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ph−ơng pháp 1 : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A –B > 0 L−u ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 ≥ 0 với∀ M Ví dụ 1 ∀ x, y, z chứng minh rằng :

3

a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz

c) x 2 + y 2 + z 2+3 ≥ 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2- xy – yz - zx

= 2

1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2- xy – yz – zx)

= 2

1 [ ] 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ≥ − + − + − z y z x y x đúng với mọi x;y;z R ∈

Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 2 0 ≥ đúng với mọi x;y;z R ∈ Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R ∈ Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2- 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 ≥ 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a)

2 2 2

2 2       + ≥ + b a b a ;b)

2 2 2 2

3 3       + + ≥ + + c b a c b a

c) H`y tổng quát bài toán giải

a) Ta xÐt hiÖu

2 2 2

2 2       + − + b a b a

= ( )

4 2 4 2 2 2 2 2 b ab a b a + + − +

= ( ) ab b a b a 2 2 2 4 1 2 2 2 2 − − − +

= ( ) 0 4 1 2 ≥ −b a