Tài liệu chuyên Toán THCS

Trang 1

MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ.........................................................................................................................2 B. NỘI DUNG 1. Chuyên đề 1: Phương pháp chứng minh phản chứng.....................................................3 2. Chuyên đề 2: Nguyên tắc Dirichlet..............................................................................10 3. Chuyên đề 3: Định lý Bézout – Lược đồ Horner..........................................................19 4. Chuyên đề 4: Dấu tam thức bậc hai..............................................................................23 5. Chuyên đề 5: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên........................25 6. Chuyên đề 6: Phần nguyên và ứng dụng......................................................................36 7. Chuyên đề 7: Đường thẳng Simson..............................................................................45 8. Chuyên đề 8: Bất đẳng thức Erdos – Modell và một vài ứng dụng..............................53 9. Chuyên đề 9: Định lý Ptôlêmê và đặc trưng của tứ giác nội tiếp..................................62 C. KẾT LUẬN.............................................................................................................................72 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................73

Trang 2

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TRANG BỊ CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TỪ TRUNG HỌC CƠ SỞ 1. Chuyên đề 1: Phương pháp chứng minh phản chứng: 1.1. Chứng minh phản chứng và các bước chứng minh phản chứng: Trong chứng minh bằng phản chứng (tiếng La tinh là reductio ad absurdum, có nghĩa là “thu giảm đến sự vô lí”), người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra. Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học. Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán. Bước 2 (đưa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toán, ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các kiến thức đã học. Bước 3 (khẳng định kết luận): Vậy kết luận của bài toán là đúng. Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ. Chứng minh:

Giả sử 2 là số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được 2 a b  với , , 0,( , ) 1 a b b a b     .

Do đó 2 a b  . Bình phương hai vế ta được: 2 2 2 a b  . Thì vế phải chia hết cho 2 nên vế trái cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số tự nhiên). Do đó 2 a là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Do vậy ta có thể viết 2 a c  , trong đó c cũng là số tự nhiên. Thay vào phương trình ban đầu ta có: 2 2 (2 ) 2 c b  hay 2 2 2 b c  . Nhưng khi

đó, tương tự như trên, 2 b chai hết cho 2 nên b phải là số chẵn. Nhưng nếu a và b đều là số chẵn thì chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này trái với giả thiết ( , ) 1 a b . Vậy

giả sử 2 là số hữu tỉ là sai. Do đó 2 là số vô tỉ.

Ví dụ 2: Không dùng máy tính, hãy chứng minh 1 6 35 10   .

Chứng minh:

Giả sử 1 6 35 10   hay 59 10 35  . Bình phương hai vế ta có: 2 59 100.35  hay

3481 3500  , điều này vô lý. Vậy giả sử trên là sai, do đó 1 6 35 10   .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương , , , x y z t đồng thời thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:

1987 987

yzt = 87

7.

x xyzt y xyzt

z x

t xyzt

   



 

   

1

2

3

4