Các dạng toán về biểu thức đại số

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Chủ đề 1. Rút gọn phân thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ 3 Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ và bài toán liên quan 3 Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật 6 Bài tập vận dụng 8 Hướng dẫn giải 9 Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức một biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức 14 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa căn thức 15 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến là nghiệm của phương trình 15 Bài tập vận dụng 16 Hướng dẫn giải 19 Chủ đề 3. Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện Dạng 1: Sử dụng phương ph{p ph}n tích 24 Dạng 2: Sử dụng phương ph{p hệ số bất định 25 Dạng 3: Sử dụng phương ph{p hình học 27 Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 28 Bài tập vận dụng 28 Hướng dẫn giải 34 Chủ đề 4. Một số phƣơng pháp chứng minh đẳng thức Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương 49 Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức quen biết 50 Dạng 3: Sử dụng phương ph{p đổi biến 51 Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức 53 Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp 53 Dạng 6: Chứng minh có một số bằng hằng số cho trước 54 Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 56 Bài tập vận dụng 58 Hướng dẫn giải 63 Chủ đề 5. Rút gọn biểu thức đại số và bài toán liên quan Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp 77 Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán 78 Dạng 3: Các bài toán về tổng dãy có quy luật 83 Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn có một hoặc nhiều ẩn 84 Dạng 5: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 87 Bài tập vận dụng 97 Hướng dẫn giải 101

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

 RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ

Nhắc lại kiến thức: C{c bước rút gọn biểu thức hữu tỷ

1. Tìm ĐKXĐ: Ph}n tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0.

2. Phân tích tử thành nhân tử, chia tử và mẫu cho nhân tử chung.

 Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ

Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức

4 3

4 3 2 x x 2x 4 A . 2x 3x 2x 6x 4        

Lời giải

Ta có:

            

4 3 2 4 3 2 2 2

2 2 2 x x 2x 4 x 4 x 2x x 2 x 2 x x 2

x 2 x x 2 x 2 x 1 x 2 .

           

       

               

4 3 2 4 3 2

4 2 2

2 2 2

2x 3x 2x 6x 4 2x 8 3x 6x 2x 4

2 x 4 3x x 2 2 x 2

x 2 2x 3x 2 x 2 x 2 2x 1 .

         

     

       

Điều kiện x{c định của A là 1 x 2, x . 2   Ta có:

       

2

2 x 2 x 1 x 2 x 1 A . 2x 1 x 2 x 2 2x 1

         

Vậy với x 2  và 1 t 2  thì x 1 A 2x 1   

Thí dụ 2. Rút gọn biểu thức

2 2 2

2 2 2 2xy x z y B . 2x z y 2xz       

Lời giải

Ta có:

   

 

 

     

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 z x 2xy y z x y z x y z x y B . x z y x z y x 2xz z y x z y

                    

Với z x y x y z 0,x y z 0 B . x y z            

 Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ và bài toán liên quan

Thí dụ 3. Cho biểu thức

4 2

4 2 x 5x 4 A . x 10x 9     

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = 0

c) Tìm giá trị của A khi 2x 1 7  

Lời giải

a) Ta có:

              

4 2 4 2 2 2 2 2

2 2 x 5x 4 x x 4 x 1 x x 1 4 x 1

x 1 x 4 x 1 x 1 x 2 x 2

         

       

             

4 2 4 2 2 2 2 2

2 2 x 10x 9 x x 9x 9 x x 1 9 x 1

x 1 x 9 x 1 x 1 x 3 x 3

         

       

Điều kiện x{c định của A là x 1, x 3.   Ta có:

         

     

x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 A x 1 x 1 x 3 x 3 x 3 x 3

             

b) Ta có:

     

x 2 x 2 A 0 0 x 2. x 3 x 3

        

c) Ta có:

2x 1 7 x 4 2x 1 7 2x 1 7 x 3

              

Với x = 4 thì      

     

x 2 x 2 4 2 4 2 1.6 6 A 1.7 7 x 3 x 3 4 3 4 3

           

Với x = - 3 thì A không x{c định.

Thí dụ 4. Cho biểu thức

3 2

3 2 2x 7x 12x 45 B 3x 19x 33x 9       

a) Rút gọn B

b) Tìm x để B > 0

Lời giải

a) Ta …