Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên - Tạ Văn Đức

Chuyên đề: Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên

Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện: Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc

2

-----------------------------------------------------------

A. Mở đầu

I. Lý do chọn chuyên đề:

Trong ch−ơng trình toán THCS thì ph−ơng trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay

và khó đối với học sinh. Các bài toán nghiệm nguyên th−ờng xuyên có mặt tại các kì thi lớn

nhỏ trong n−ớc và ngoài n−ớc.

Tuy nhiên lại không có nhiều tài liệu viết riêng về nội dung này, do vậy để phục vô giảng

dạy của bản thân, đặc biệt là công tác bồi d−ỡng học đội tuyển học sinh giỏi và bồi d−ỡng

học sinh thi vào các tr−ờng chuyên lớp chọn nên tôi ®; viết chuyên đề này.

Trong chuyên đề này tôi chỉ mới đề cập đến vấn đề nghiệm nguyên ( cô thể là các dạng và

ph−ơng pháp giải) chứ không đi sâu vì vốn hiểu biết còn có hạn.

II. Phạm vi và mục đích của chuyên đề: 1. Phạm vi của chuyên đề:

- Áp dụng với đối t−ợng học sinh khá- giỏi các khối 8- 9

2. Mục đích chuyên đề: - Trao đổi với đồng nghiệp và học sinh một số ph−ơng pháp cũng nh− là một số bài

toán giải ph−ơng trình nghiệm nguyên trong ch−ơng trình bồi d−ỡng học sinh khá- giỏi các

lớp 8, 9

- Giúp học sinh biết vận dụng các ph−ơng pháp trên một cách linh hoạt trong việc

giải quyết các bài toán về nghiệm nguyên từ dễ đến khó.

------------------------------------------------------------

Chuyên đề: Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên Một số ph−ơng pháp giải ph−ơng trình nghiệm nguyên

Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện Ng−ời thực hiện: Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc

3

B- Nội dung.

Ph−ơng pháp 1: áp dụng tính chia hết.

Các tính chất thường dùng : – Nếu a ⋮ m và a ± b ⋮ m thì b ⋮ m.

– Nếu a ⋮ b, b ⋮ c thì a ⋮ c.

– Nếu ab⋮ c mà ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ c.

– Nếu a⋮ m, b⋮ n thì ab⋮ mn.

– Nếu a⋮ b, a⋮ c với ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ bc.

– Trong m số nguyên liên tiÕp, bao giê cũng tồn tại một số là bội của m.

1. Ph−ơng trình dạng ax + by =c.

ví dụ 1: Giải ph−ơng trình nghiệm nguyên sau: 2x + 25y = 8 (1) Giải: Có thể dễ dàng thấy rằng y chẵn. Đặt y =2t ph−ơng trình (1) trở thành: x + 25t = 4 Từ đó ta có nghiệm của ph−ơng trình.

4 25

2

x t

y t

t Z

= −   =  ∈  Chú ý: ta còn có cách thứ hai để tìm nghiệm của ph−ơng trình trên. Đó là ph−ơng pháp tìm nghiệm riêng để giải ph−ơng trình bậc nhất hai ẩn. Ta dựa vào định lý sau: Nếu ph−ơng trình ax + by =c. với (a;b) = 1 có nghiệm là ( x0; y0) thì mọi nghiệm nguyên của ph−ơng trình nhận từ công thức.

0

0

x x bt

y y at

t Z

= +   = −  ∈  Định lý này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào ph−ơng trình) dựa vào định lý này ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng của ph−ơng trình ax + by =c. Đối với các ph−ơng trình có hệ số a,b,c nhỏ thì việc tìm nghiệm riêng khá đơn giản xong với ph−ơng trình có các hệ số a,b,c lớn thì không dễ dàng chút nào, do đó ta phải dùng đến thuật toán Ơclít.