Chuyên đề số chính phương

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1

CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Định nghĩa số chính phƣơng.

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

(tức là nếu n là số chính phương thì:   2   n k k Z )

2. Một số tính chất cần nhớ

1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận

cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số

mũ chẵn.

3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính

phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N).

4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính

phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).

5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.

8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.

9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số đó là số 0.

10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số các ước là số lẻ thì

số đó là số chính phương.

11. Nếu n2 < k < (n + 1)2 ( n  Z) thì k không là số chính phương.

12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi

số a, b cũng là các số chính phương.

13. Nếu a là một số chính phương, a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho 2 p .

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

14. Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có dạng

2 2 ; a mp b mq

B. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phƣơng, hoặc là tổng nhiều số chính

phƣơng.

* Cơ sở phƣơng pháp:

Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa,

tức là chứng minh :   2   n k k Z

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: 1 2 3 1 A n n n n là số

chính phương.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 3 2 3 1 3 1 A n n n n n n n n n n

Vì n nên 2 3 1 n n . Vậy A là số chính phương.

Bài toán 2. Cho: 1.2.3 2.3.4 ... 1 2 B k k k với k là số tự nhiên. Chứng minh

rằng 4B + 1 là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn

biểu thức B trước.

Ta có:

1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n n

Áp dụng:

1 1.2.3 1.2.3.4 0.1.2.3 4

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

1 2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 4 1 3.4.5 3.4.5.6 2.3.4.5 4 ............................................ 1 1 2 1 2 3 1 1 2 4 k k k k k k k k k k k

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

1 1.2.3 2.3.4 ... 1 2 1 2 3 4 4 1 1 2 3 1

B k k k k k k k

B k k k k

Theo ví dụ 1 ta có:

2 2 4 1 3 1 B k k

Vì k nên 2 3 1 k k . Vậy 4 1 B là số chính phương.

Bài toán 3. Chứng minh rằng:

2 11...1 44...4 1

n n C với n là số tự nhiên. Chứng minh rằng

C là số chính phương.

Hướng dẫn giải

Ta có: 11...100...0 11...1 44...4 1

n n n n C

Đặt 11...1

n a  thì 9 99...9

n a  . Do đó 99...9 1 10 9 1 n

n a   

2 2

2

1

.10 4 1 9 1 5 1

9 6 1 3 1

33...34 .

n

n

C a a a a a a

C a a a

C

Vậy C là một số chính phương.

Nhận xét:

Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính phương ta nên đặt 11...1

n a  và như vậy 99...9 1 10 9 1 n

n a   .

Bài toán 4. Cho

2016 11...1 a  ,

2015 10...05 b  . Chứng minh 1 ab  là số tự nhiên.

Hướng dẫn giải

Cách 1: