Phân tích bình luận 111 bài toán bất đẳng thức - Nguyễn Công Lợi

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

TUYỂN CHỌN 111 BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC SẮC

Trong chủ đề n|y, chúng tôi đã tuyển chọn v| giới thiệu một số b|i to{n bất đẳng

thức hay v| khó, cùng với đó l| qu{ trình ph}n tích để đi đến hình th|nh lời giải cho b|i

to{n bất đẳng thức đó. Từ c{c b|i to{n đó ta sẽ thấy được qu{ trình ph}n tích đặc điểm của

giả thiết b|i to{n cũng như bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó có những nhận định,

định hướng để tìm tòi lời giải v| c{ch trình b|y lời giải cho một b|i to{n bất đẳng thức.

Bài 1. Cho a, b, c l| c{c số thực dương. Chứng minh rằng:

              2 2 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c a b c b c a c a b

Phân tích và lời giải

Trước hết ta dự đo{n dấu đẳng thức xẩy ra tại   a b c . Có thể nói đ}y l| một bất

đẳng thức hay tuy nhiên nó không thực sự khó. Quan s{t bất đẳng thức ta có một c{ch tiếp

cận b|i to{n như sau

Cách 1. Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM

để đ{nh gi{. Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bao nhiều số? Để ý bên vế

tr{i bất đẳng thức có chứa 2 1 a

v| bên vế phải lại chứa 1 a nên ta sử dụng bất đẳng thức AM

– GM cho hai số, ta cũng cần triệt tiêu c{c đại lượng  bc b c . Chú ý đến bảo to|n dấu đẳng

thức ta có đ{nh gi{ sau

   

        2 2 bc b c bc b c 1 2 4bc 4bc a a b c a b c

Thực hiện tương tự ta có    

        2 2 ca c a 1 ab a b 1 ; 4ca b 4ab c b c a c a b

Cộng theo vế c{c bất đẳng thức trên ta được

     

              2 2 2 bc ca ab b c c a a b 1 1 1 4bc 4ca 4ab a b c a b c b c a c a b

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Để ý l|              

b c c a a b 1 1 1 1 4bc 4ca 4ab 2 a b c , lúc n|y ta thu được

     

                 2 2 2 bc ca ab 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2 a b c a b c b c a c a b

Hay               2 2 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c a b c b c a c a b

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi v| chỉ khi   a b c .

Cách 2. Ý tưởng thứ hai l| {p dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng ph}n thức ta

được

     

       

                

2

2 2 2 ab bc ca bc ca ab a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được

       

             

2 ab bc ca 1 1 1 2a 2b 2c abc a b c b c a c a b

Biến đổi vế tr{i ta được

       

   

                  

2 2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 2a 2b 2c 2abc ab bc ca abc a b c b c a c a b

Điều n|y có nghĩa l| bất đẳng thức được chứng minh.

Cách 3. Ý tưởng tiếp theo l| sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh b|i to{n.

Chú ý đến phép biến đổi    

      2 2 bc 1 ab bc ca a a b c a b c

, khi đó ta thu được bất đẳng thức cần

chứng sau

     

                    2 2 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1 2 a b c a b c b c a c a b

Biến đổi vế tr{i ta lại được             

3 ab bc ca 3 1 1 1 2 a b c 2abc . Đến lúc n|y ta đưa b|i to{n cần

chứng minh th|nh             2 2 2 1 1 1 3 2abc a b c b c a c a b

Đến đ}y ta biến đổi bất đẳng thức bằng c{ch nh}n cả hai vế với tích abc ta được