Bí quyết chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Quốc Bảo

GV: NGUYỄN QUỐC BẢO

Zalo: 039.373.2038

Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com

Website: Tailieumontoan.com

Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs

BÍ QUYẾT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THCS

Chuyên đê

BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ

LƯU HÀNH NỘI BỘ

NGUYỄN QUỐC BẢO

BÍ QUYẾT GIẢI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC

& CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9

● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán

● Phân dạng và phương pháp giải rõ ràng

Lêi giíi thiÖu

Các em học sinh và thầy giáo, cô giáo thân mến !

Cuốn sách Cẩm nang chứng minh bất đẳng thức THCS được các tác giả biên soạn

nhằm giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán ở THCS hiện nay và THPT sau này.

Các tác giả cố gắng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành

một hệ thống để bồi dưỡng học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách được viết theo các chủ

đề tương ứng với các vấn đề quan trọng thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán

THCS, cũng như vào lớp 10 chuyên môn toán trên cả nước. Mỗi chủ đề được viết theo cấu

trúc lý thuyết cần nhớ, các dạng toán thường gặp, bài tập rèn luyện giúp các em học sinh

nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện được các kiến thức đã học.

Mỗi chủ đề có ba phần:

A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung

cần thiết để làm cơ sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.

B. Một số ví dụ: Phần này đưa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ

năng và phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi.

Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo những nhận xét, lưu ý, bình luận và phương pháp

giải, về những sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải

toán, học toán.

C. Bài tập vận dụng:

Phần này, các tác giả đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng

toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học

sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Các em hãy cố gắng tự giải.

Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng

cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi

những sai sót. Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.

Xin chân thành cảm ơn!

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC

A. KiÕn thøc cÇn nhí

● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B và chứng minh hiệu A – B là số không âm

bằng cách dồn về các tổng bình phương.

● Lưu ý : A2 ≥ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có:

( )( )( )( ) x 1 x 2 x 3 x 4 1 − − − − ≥−

Hướng dẫn giải

Xét hiệu: ( )( )( )( ) ( ) A x 1 x 2 x 3 x 4 1 = − − − − −−

( )( ) ( )( )

( )( ) 2 2 x 1 x 4 x 2 x 3 1

x 5x 4 x 5x 6 1

   = − − − − +   

= − + − + +

Đặt 2 y x 5x 5 = − + ta được ( )( )

2 2 A y 1 y 1 1 y 1 1 y 0 = − + + = −+ = ≥

Vậy ( )( )( )( ) x 1 x 2 x 3 x 4 1 − − − − ≥−

Thí dụ 2. Cho a, b là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 1 a b ab a b + + ≥ + +

Hướng dẫn giải

Xét hiệu: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 A a b 1 ab a b a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 2

  = + + − − − = − + + − + + − +  

( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 a b a 1 b 1 0 2

  = − + − + − ≥  

Vậy 2 2 1 a b ab a b + + ≥ + +

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1.

Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta đều có: ( ) 6 2 2 a 1 a a 1 + ≥ +

Hướng dẫn giải

Xét hiệu: ( ) 6 2 2 6 4 2 A a 1 a a 1 a a a 1 = + − + = − − +

CHỦ ĐỀ

1

PHƯƠNG PHÁP

DÙNG ĐỊNH NGHĨA

5 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC