Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

1

F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY

MỤC LỤC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ............................................................. 1

Bài tập có giải ............................................................................................................................. 2

Một số bài tập tự rèn: .............................................................................................................. 16

CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác

 Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm  Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.  Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm.  Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba.  Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường nằm trên đường thẳng thứ ba.

Chúc các em học sinh học tập tốt!

Chủ đề

6

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

ĐỒNG QUY

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

2

Bài tập có giải

Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình

bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) EFGH là hình bình hành.

b) Các đường thẳng , , , AC BD EF GH đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh rằng ; EG HF EH GF = = .

b) Gọi O là giao điểm của AC và EF . Tứ giác AECF

có , AE CF AE CF = / / nên là hình bình hành.. Suy ra O

là trung điểm của , AC EF .

ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của BD.

EGHF là hình bình hành, O là trung điểm của EF nên O là trung điểm của GH .

Vậy , , , AC BD EF GH đồng quy tại O.

Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài 2: Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( ) O kẻ

các tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB . Các đường thẳng , CI CJ theo thứ tự cắt

đường tròn ( ) O tại , M N . Chứng minh rằng

, , IN JM AB đồng quy tại một điểm D .

Hướng dẫn giải

M thuộc đường tròn đường kính IJ nên  90 JMI = ° hay JM CI ⊥

Tương tự IN CJ ⊥

Tam giác CIJ có 3 đường cao , , CA JM IN đồng quy tại D .

Vậy , , IN JM AB đồng quy tại một điểm D .

D

N

M

J

I

B O C

A

Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

3

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O)

có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt

đường tròn (O) tại S.

1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.

3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng

BA, EM, CD đồng quy.

4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.

5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Hướng dẫn giải

1. Ta có  0 90 CAB = ( vì tam giác ABC vuông tại A);  0 90 MDC = ( góc nội tiếp chắn nửa

đường tròn ) =>  0 90 CDB = như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên

A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.

2. ABCD là tứ giác nội tiếp =>   1 3 D C = ( nội tiếp cùng chắn cung AB).

  1 3 D C = =>   SM EM = =>   2 3 C C = (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng

nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB.

TH2 (Hình b)

  ABC CME = (cùng phụ  ACB );   ABC CDS = (cùng bù  ADC ) =>   CME CDS =

=>     CE CS SM EM = ⇒ = =>   SCM ECM = => CA là tia phân giác của góc SCB.

3. Xét ∆CMB Ta có …